Promień, średnica, cięciwa i styczna - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Uporządkujesz nazwy elementów związanych z okręgiem. Odróżnisz promień, średnicę, cięciwę i styczną, a potem użyjesz ich w prostych rachunkach geometrycznych.

Plan tej lekcji

Najpierw odróżnisz okrąg od koła.

Potem rozpoznasz promień, średnicę i cięciwę na rysunku.

Na końcu użyjesz faktu, że promień do punktu styczności tworzy kąt prosty.

Na start

Okrąg to sama linia.

Koło to linia razem z wnętrzem.

Styczna dotyka okręgu w jednym punkcie.

Po tej lekcji:

rozpoznasz promień, średnicę, cięciwę i styczną
obliczysz promień lub średnicę z zależności między nimi
użyjesz prostopadłości promienia do stycznej

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Okrąg to brzeg, koło to wnętrze z brzegiem

Okrąg składa się z punktów leżących w tej samej odległości od środka. Koło to cały obszar wewnątrz okręgu razem z okręgiem.

Porównanie okręgu jako samej linii i koła jako wypełnionego obszaru.

$\text{okrąg: punkty w odległości } r \text{ od środka}$

$\text{koło: punkty w odległości nie większej niż } r \text{ od środka}$

Zapamiętaj

Gdy liczysz długość brzegu, pracujesz z okręgiem.

Gdy liczysz powierzchnię, pracujesz z kołem.

02WYJAŚNIENIE

Promień prowadzi od środka do okręgu

Promień to odcinek od środka okręgu do dowolnego punktu na okręgu. Wszystkie promienie tego samego okręgu mają taką samą długość.

Okrąg ze środkiem O i trzema równymi promieniami.

$OA=r$

$OB=r$

$OC=r$

Wskazówka

Jeśli punkt leży na okręgu, to jego odległość od środka jest równa promieniowi.

03WYJAŚNIENIE

Średnica składa się z dwóch promieni

Średnica przechodzi przez środek okręgu i ma końce na okręgu. Jest dwa razy dłuższa od promienia.

Średnica AB przechodząca przez środek O jako dwa promienie.

$d=2r$

$r=\frac{d}{2}$

Dla $r=6\ \text{cm}$ średnica ma $d=12\ \text{cm}$ .

Wskazówka

Jeśli zadanie podaje średnicę, promień jest tylko jej połową.

04WYJAŚNIENIE

Cięciwa łączy dwa punkty okręgu

Cięciwa ma oba końce na okręgu. Średnica też jest cięciwą, ale szczególną: przechodzi przez środek i jest najdłuższą cięciwą.

Okrąg ze zwykłą cięciwą i średnicą przechodzącą przez środek.

Każda średnica jest cięciwą.

Nie każda cięciwa jest średnicą.

Najdłuższa cięciwa okręgu ma długość $2r$ .

05WYJAŚNIENIE

Styczna dotyka okręgu w jednym punkcie

Styczna ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny. Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.

Styczna do okręgu i promień do punktu styczności tworzące kąt prosty.

$OT\perp \text{styczna}$

Kąt między promieniem do punktu styczności i styczną ma $90^\circ$ .

06WYJAŚNIENIE

Styczna często tworzy trójkąt prostokątny

Jeśli punkt leży poza okręgiem, promień do punktu styczności i styczna tworzą trójkąt prostokątny. Wtedy można użyć twierdzenia Pitagorasa.

Trójkąt prostokątny z promieniem do punktu styczności, styczną i odcinkiem do punktu zewnętrznego.

$OP^2=OT^2+PT^2$

Dla $OT=6\ \text{cm}$ i $OP=10\ \text{cm}$ otrzymujemy $PT=8\ \text{cm}$ .

Wskazówka

Styczna jest prostopadła tylko do promienia poprowadzonego do punktu styczności.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Średnica i promień

Średnica okręgu ma długość $18\ \text{cm}$ . Ile wynosi promień?

$6\ \text{cm}$

$9\ \text{cm}$

$18\ \text{cm}$

$36\ \text{cm}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$9\ \text{cm}$

Promień jest połową średnicy: $r=\frac{18}{2}=9\ \text{cm}$ .

PYTANIE 02

Najdłuższa cięciwa

Promień okręgu ma długość $4\ \text{cm}$ . Jaką długość ma najdłuższa cięciwa?

$2\ \text{cm}$

$4\ \text{cm}$

$8\ \text{cm}$

$16\ \text{cm}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$8\ \text{cm}$

Najdłuższą cięciwą jest średnica, więc $d=2\cdot4=8\ \text{cm}$ .

PYTANIE 03

Styczna i kąt prosty

Promień poprowadzony do punktu styczności tworzy ze styczną kąt:

$30^\circ$

$45^\circ$

$60^\circ$

$90^\circ$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D

$90^\circ$

Promień do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc tworzy kąt $90^\circ$ .

NA KONIEC

Najważniejsze metody z elementów okręgu

Okrąg to brzeg, koło to brzeg z wnętrzem. Promień łączy środek z punktem na okręgu, średnica ma długość dwóch promieni, a najdłuższa cięciwa jest średnicą. Przy stycznej zawsze warto dorysować promień do punktu styczności.

Zapamiętaj

$d=2r$

$r=\frac{d}{2}$

$OT\perp \text{styczna}$