Długość łuku i pole wycinka koła - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się traktować łuk i wycinek jako część całego okręgu albo koła. Kluczowy będzie ułamek wyznaczony przez kąt środkowy.

Na start

Łuk jest częścią brzegu.

Wycinek jest częścią powierzchni.

$\frac{\alpha}{360^\circ}$

Po tej lekcji:

rozpoznasz łuk i wycinek koła
obliczysz długość łuku z kąta środkowego
obliczysz pole wycinka koła

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Łuk to fragment brzegu, wycinek to fragment powierzchni

Łuk leży na okręgu. Wycinek koła jest obszarem ograniczonym dwoma promieniami i łukiem.

02WYJAŚNIENIE

Kąt środkowy mówi, jaka część koła jest zaznaczona

Całe koło odpowiada kątowi $360^\circ$ . Jeśli wycinek ma kąt $\alpha$ , bierzesz część całego okręgu lub całego pola.

Wycinek koła pokazujący, że kąt środkowy jest częścią pełnego kąta 360 stopni.

$\text{część koła}=\frac{\alpha}{360^\circ}$

03WYJAŚNIENIE

Długość łuku to część długości okręgu

Długość łuku liczysz tak, jaką część pełnego kąta zajmuje wycinek.

Przykład: dla $r=6\text{ cm}$ i $\alpha=60^\circ$ wycinek zajmuje $\frac{60}{360}=\frac16$ koła. Jego łuk ma długość $\frac16\cdot2\pi\cdot6=2\pi\text{ cm}$ , a pole wynosi $\frac16\cdot\pi\cdot6^2=6\pi\text{ cm}^2$ .

$l=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi r$

Dla $\alpha=90^\circ$ bierzesz $\frac{1}{4}$ długości okręgu.

04WYJAŚNIENIE

Pole wycinka to część pola koła

Ten sam ułamek kąta działa przy polu. Zmieniasz tylko wielkość całkowitą: zamiast długości okręgu bierzesz pole koła.

$P_{\text{wycinka}}=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi r^2$

Dla $\alpha=60^\circ$ bierzesz $\frac{1}{6}$ pola koła.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Długość łuku

W okręgu o promieniu $6$ kąt środkowy ma $90^\circ$ . Ile wynosi długość łuku?

$2\pi$

$6\pi$

$3\pi$

$12\pi$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$3\pi$

Kąt $90^\circ$ to $\frac{1}{4}$ pełnego kąta, więc $l=\frac{1}{4}\cdot12\pi=3\pi$ .

PYTANIE 02

Pole wycinka

Koło ma promień $3$ , a wycinek ma kąt $120^\circ$ . Ile wynosi pole wycinka?

$\pi$

$3\pi$

$6\pi$

$9\pi$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$3\pi$

$120^\circ$ to $\frac{1}{3}$ pełnego kąta. Pole koła to $9\pi$ , więc wycinek ma $3\pi$ .

PYTANIE 03

Kąt z ułamka koła

Wycinek stanowi $\frac{1}{5}$ koła. Jaki ma kąt środkowy?

$36^\circ$

$72^\circ$

$90^\circ$

$180^\circ$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$72^\circ$

Pełny kąt ma $360^\circ$ , więc $\frac{1}{5}\cdot360^\circ=72^\circ$ .

NA KONIEC

Najważniejsze metody z łuku i wycinka

Najpierw zamień kąt środkowy na część pełnego kąta. Potem tę samą część bierzesz z długości okręgu albo z pola koła.

Zapamiętaj

$l=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi r$

$P_{\text{wycinka}}=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi r^2$

$90^\circ=\frac{1}{4}\cdot360^\circ$