Co będziesz umieć po tej lekcji?
Nauczysz się szybko rozpoznawać dwa układy: okrąg wpisany w trójkąt i okrąg opisany na trójkącie. Potem użyjesz własności trójkąta prostokątnego i wzoru z promieniem okręgu wpisanego.
Wpisany dotyka boków trójkąta.
Opisany przechodzi przez wierzchołki.
- odróżnisz okrąg wpisany od opisanego
- rozpoznasz okrąg opisany na trójkącie prostokątnym
- użyjesz wzoru na pole trójkąta z promieniem okręgu wpisanego
Wyjaśnienie krok po kroku
Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.
Okrąg wpisany dotyka wszystkich boków trójkąta
Okrąg wpisany leży wewnątrz trójkąta i jest styczny do każdego boku. Promień do punktu styczności jest prostopadły do boku.
Okrąg opisany przechodzi przez wszystkie wierzchołki trójkąta
Okrąg opisany leży tak, że każdy wierzchołek trójkąta znajduje się na okręgu.
Wpisany czy opisany: szybkie rozróżnienie
Wpisany dotyka boków. Opisany przechodzi przez wierzchołki. Te dwa zdania najczęściej wystarczają do rozpoznania rysunku.
Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym
W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w połowie przeciwprostokątnej. Promień tego okręgu jest połową przeciwprostokątnej.
Pole trójkąta z promieniem okręgu wpisanego
Jeśli znasz promień okręgu wpisanego i połowę obwodu trójkąta, możesz obliczyć pole ze wzoru .
Wzór bierze się z podziału trójkąta na trzy mniejsze trójkąty o wspólnym wierzchołku w środku okręgu wpisanego. Ich wysokości są promieniami , więc .
Dla i pole wynosi .
Trójkąt równoboczny ma jeden wspólny środek
W trójkącie równobocznym środek okręgu wpisanego i środek okręgu opisanego wypadają w tym samym punkcie.
Teraz Twoja kolej
Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.
Wpisany czy opisany?
Okrąg dotyka wszystkich boków trójkąta. Jest to okrąg:
wpisany w trójkąt
opisany na trójkącie
średnicowy
zewnętrzny
Sprawdź odpowiedź
wpisany w trójkąt
Okrąg wpisany dotyka boków trójkąta. Okrąg opisany przechodzi przez wierzchołki.
Trójkąt prostokątny
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość . Ile wynosi promień okręgu opisanego?
Sprawdź odpowiedź
W trójkącie prostokątnym , więc .
Pole ze wzoru
Promień okręgu wpisanego w trójkąt wynosi , a połowa obwodu trójkąta . Ile wynosi pole trójkąta?
Sprawdź odpowiedź
Korzystamy z : mnożymy promień okręgu wpisanego przez połowę obwodu trójkąta. Otrzymujemy .
Najważniejsze metody z okręgów w trójkącie
Okrąg wpisany poznajesz po styczności z bokami, a opisany po przejściu przez wierzchołki. W trójkącie prostokątnym promień okręgu opisanego jest połową przeciwprostokątnej. Przy okręgu wpisanym często działa wzór na pole z promieniem i połową obwodu.