Przejdź do treści
Zdaj Matmę.BY KODILO
Potęgi, pierwiastki i logarytmy · LEKCJA 2 Z 3

Działania w notacji wykładniczej

Współczynniki osobno, potęgi osobno

◷ 18 minPoziom: podstawowy6 kroków
ZANIM ZACZNIESZ

Co będzie w lekcji

W tej lekcji wykonasz działania na liczbach w notacji wykładniczej. Oddzielisz rachunek na współczynnikach od rachunku na potęgach dziesiątki, a na końcu poprawisz wynik do standardowej postaci.

Na start

mnożenie i dzielenie

dodawanie przy wspólnej potędze

poprawianie współczynnika

Po tej lekcji:
  • pomnożysz i podzielisz liczby w notacji wykładniczej
  • dodasz i odejmiesz liczby z tą samą potęgą dziesiątki
  • poprawisz wynik do standardowej postaci
ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Dwie części rachunku

W zapisie z potęgą dziesiątki są dwie części. Współczynniki liczymy między sobą, a potęgi dziesiątki według praw działań na potęgach.

Schemat rozdzielający mnożenie współczynników i mnożenie potęg dziesiątki.
Schemat rozdzielający mnożenie współczynników i mnożenie potęg dziesiątki.

(3⋅104)(2⋅105)=(3⋅2)(104⋅105)(3\cdot10^4)(2\cdot10^5)=(3\cdot2)(10^4\cdot10^5)

3⋅2=63\cdot2=6

104⋅105=10910^4\cdot10^5=10^9

02WYJAŚNIENIE

Mnożenie

Przy mnożeniu współczynniki mnożymy, a wykładniki przy tej samej podstawie dodajemy.

(a⋅10m)(b⋅10n)=ab⋅10m+n(a\cdot10^m)(b\cdot10^n)=ab\cdot10^{m+n}

(4⋅103)(2⋅105)=8⋅108(4\cdot10^3)(2\cdot10^5)=8\cdot10^8

103⋅105=10810^3\cdot10^5=10^8

Wskazówka

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie nie mnożymy wykładników.

03WYJAŚNIENIE

Gdy wynik trzeba poprawić

Po pomnożeniu współczynników wynik może mieć za duży współczynnik. Wartość jest dobra, ale zapis trzeba doprowadzić do standardowej postaci.

Poprawianie zapisu 30 razy 10 do siódmej na 3 razy 10 do ósmej.
Poprawianie zapisu 30 razy 10 do siódmej na 3 razy 10 do ósmej.

(6⋅104)(5⋅103)=30⋅107(6\cdot10^4)(5\cdot10^3)=30\cdot10^7

30⋅107=3⋅10830\cdot10^7=3\cdot10^8

współczynnik 3030 jest za duży

04WYJAŚNIENIE

Dzielenie

Przy dzieleniu współczynniki dzielimy, a wykładniki przy tej samej podstawie odejmujemy.

a⋅10mb⋅10n=ab⋅10m−n\frac{a\cdot10^m}{b\cdot10^n}=\frac{a}{b}\cdot10^{m-n}

8⋅1072⋅103=4⋅104\frac{8\cdot10^7}{2\cdot10^3}=4\cdot10^4

3⋅1026⋅105=0,5⋅10−3=5⋅10−4\frac{3\cdot10^2}{6\cdot10^5}=0{,}5\cdot10^{-3}=5\cdot10^{-4}

Zapamiętaj

Po dzieleniu też sprawdzamy zakres współczynnika.

05WYJAŚNIENIE

Dodawanie przy tej samej potędze

Współczynniki można dodać od razu tylko wtedy, gdy potęga dziesiątki jest taka sama.

Dodawanie dwóch liczb z tą samą potęgą dziesiątki.
Dodawanie dwóch liczb z tą samą potęgą dziesiątki.

4⋅105+3⋅105=7⋅1054\cdot10^5+3\cdot10^5=7\cdot10^5

2,4⋅106+5,1⋅106=7,5⋅1062{,}4\cdot10^6+5{,}1\cdot10^6=7{,}5\cdot10^6

06WYJAŚNIENIE

Dodawanie przy różnych potęgach

Jeśli potęgi są różne, najpierw sprowadzamy liczby do wspólnej potęgi dziesiątki. Przy dodawaniu nie dodajemy wykładników.

Sprowadzenie liczby 4 razy 10 do czwartej do 0,4 razy 10 do piątej przed dodawaniem.
Sprowadzenie liczby 4 razy 10 do czwartej do 0,4 razy 10 do piątej przed dodawaniem.

Zwiększenie wykładnika o jeden powiększa potęgę dziesięciokrotnie. Żeby zachować wartość liczby, dzielimy więc współczynnik przez dziesięć: 4⋅104=410⋅1054\cdot10^4=\frac4{10}\cdot10^5.

3,2⋅105+4⋅1043{,}2\cdot10^5+4\cdot10^4

4⋅104=0,4⋅1054\cdot10^4=0{,}4\cdot10^5

3,2⋅105+0,4⋅105=3,6⋅1053{,}2\cdot10^5+0{,}4\cdot10^5=3{,}6\cdot10^5

Wskazówka

W dodawaniu wykładników nie dodajemy. Najpierw ustawiamy tę samą skalę.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Iloczyn (3⋅104)(2⋅103)(3\cdot10^4)(2\cdot10^3) jest równy:

A

6⋅1076\cdot10^7

B

6⋅10126\cdot10^{12}

C

5⋅1075\cdot10^7

D

6⋅106\cdot10

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: A

6⋅1076\cdot10^7

3⋅2=63\cdot2=6 oraz 104⋅103=10710^4\cdot10^3=10^7.

PYTANIE 02

Suma 4,1⋅105+2,3⋅1054{,}1\cdot10^5+2{,}3\cdot10^5 jest równa:

A

6,4⋅1056{,}4\cdot10^5

B

6,4⋅10106{,}4\cdot10^{10}

C

9,43⋅1059{,}43\cdot10^5

D

2,8⋅1052{,}8\cdot10^5

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: A

6,4⋅1056{,}4\cdot10^5

Potęgi są takie same, więc dodajemy współczynniki: 4,1+2,3=6,44{,}1+2{,}3=6{,}4.

PYTANIE 03

Wynik (5⋅106)(8⋅102)(5\cdot10^6)(8\cdot10^2) w standardowej notacji to:

A

40⋅10840\cdot10^8

B

4⋅1094\cdot10^9

C

4⋅1084\cdot10^8

D

13⋅10813\cdot10^8

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: B

4⋅1094\cdot10^9

5⋅8=405\cdot8=40 i 106⋅102=10810^6\cdot10^2=10^8, więc 40⋅108=4⋅10940\cdot10^8=4\cdot10^9.

NA KONIEC

Działania

Przy mnożeniu i dzieleniu osobno licz współczynniki oraz potęgi dziesiątki. Przy dodawaniu i odejmowaniu najpierw ustaw tę samą potęgę.

Zapamiętaj

(a⋅10m)(b⋅10n)=ab⋅10m+n(a\cdot10^m)(b\cdot10^n)=ab\cdot10^{m+n}

a⋅10mb⋅10n=ab⋅10m−n\frac{a\cdot10^m}{b\cdot10^n}=\frac{a}{b}\cdot10^{m-n}

po działaniu sprawdź warunek 1≤a<101\le a<10