Co będziesz umieć po tej lekcji?
W tej lekcji skupisz się na najczęstszym błędzie w nierównościach: znaku, który trzeba odwrócić po pomnożeniu albo podzieleniu przez liczbę ujemną.
Najpierw zobaczysz na liczbach, dlaczego znak się odwraca.
Potem rozwiążesz nierówności z ujemnym współczynnikiem przy .
Następnie przećwiczysz sytuacje, w których znak się nie zmienia.
Na końcu porównasz wyniki na osi liczbowej.
Znak nierówności odwracamy tylko przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron przez liczbę ujemną.
- Uczeń umie rozpoznać moment, w którym trzeba odwrócić znak nierówności, oraz poprawnie rozwiązywać nierówności z dzieleniem przez liczbę ujemną.
Wyjaśnienie krok po kroku
Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.
Dlaczego znak się odwraca?
Prawdziwa nierówność zmienia kierunek po pomnożeniu obu stron przez . Dostajemy i , a na osi liczbowej leży po prawej stronie .
Liczby po pomnożeniu przez zmieniają strony względem zera, więc zmienia się ich kolejność.
Najważniejsza reguła
Jeżeli mnożysz albo dzielisz obie strony nierówności przez liczbę dodatnią, znak zostaje. Jeżeli mnożysz albo dzielisz przez liczbę ujemną, znak się odwraca.
Nie dzielimy przez zero. Jeśli chcemy mnożyć lub dzielić przez wyrażenie ze zmienną, najpierw musimy ustalić jego znak; sama obecność litery nie pozwala wybrać kierunku nierówności.
Rozwiąż nierówność .
Chcemy zostawić samo . Przy stoi czynnik , więc dzielimy obie strony przez . Dzielimy przez liczbę ujemną, więc znak zmieniamy na . Otrzymujemy . Upraszczamy: . Rozwiązaniem są wszystkie liczby większe od .
Wynik nie jest . Znak trzeba odwrócić, bo dzielimy przez .
Minus przy można usunąć mnożeniem przez
Jeżeli nierówność ma postać , można pomnożyć obie strony przez . To zmienia na , ale odwraca znak nierówności.
Rozwiąż nierówność .
Mnożymy obie strony przez , żeby otrzymać samo . Ponieważ mnożymy przez liczbę ujemną, znak zmieniamy na . Otrzymujemy . Rozwiązaniem są wszystkie liczby większe lub równe .
Zapis oznacza . Usunięcie minusa przy to tak naprawdę dzielenie albo mnożenie przez .
Najpierw porządkuj, potem decyduj o znaku
Nie każda nierówność z minusem wymaga od razu zmiany znaku. Znak odwracasz dopiero wtedy, gdy faktycznie mnożysz lub dzielisz obie strony przez liczbę ujemną.
Rozwiąż nierówność .
Odejmujemy od obu stron: . Teraz dzielimy obie strony przez . Dzielimy przez liczbę ujemną, więc znak zmieniamy na . Otrzymujemy . Znak zmienił się dopiero w ostatnim kroku, podczas dzielenia przez .
Samo występowanie minusa w nierówności nie odwraca znaku. Znak odwraca dopiero mnożenie lub dzielenie przez liczbę ujemną.
Gdy przeniesienie wyrazów daje ujemny współczynnik
Czasem ujemny współczynnik przy pojawia się dopiero po przeniesieniu wyrazów. Wtedy na końcu też trzeba odwrócić znak.
Rozwiąż nierówność .
Odejmujemy od obu stron: . Upraszczamy: . Odejmujemy od obu stron: . Dzielimy przez , więc odwracamy znak na . Otrzymujemy . Chociaż początkowo przy po lewej był dodatni współczynnik, po uporządkowaniu pojawiło się .
O kierunku znaku decyduje ostatnie dzielenie lub mnożenie, nie wygląd pierwszego zapisu.
Sprawdzenie po odwróceniu znaku
Po dzieleniu przez liczbę ujemną warto sprawdzić liczbę z otrzymanego przedziału. Jeśli wynik to , prosta liczba testowa to .
Sprawdź wynik dla nierówności .
Wybieramy , bo . Podstawiamy do lewej strony: . Podstawiamy do prawej strony: . Sprawdzamy nierówność: , więc pasuje. Sprawdzamy liczbę spoza rozwiązania, na przykład . Lewa strona: . Prawa strona: . Nierówność jest fałszywa. Sprawdzenie potwierdza, że poprawny kierunek to .
Teraz Twoja kolej
Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.
Rozwiązaniem nierówności jest:
Sprawdź odpowiedź
Dzielimy przez , więc znak zmienia się na . Otrzymujemy .
Rozwiązaniem nierówności jest:
Sprawdź odpowiedź
Mnożymy przez , więc znak zmienia się na . Wynik to .
Rozwiąż nierówność .
Sprawdź odpowiedź
Odejmujemy : . Dzielimy przez , więc odwracamy znak: .
Kiedy trzeba odwrócić znak nierówności?
Przy dodawaniu do obu stron.
Przy odejmowaniu od obu stron.
Przy dzieleniu obu stron przez .
Przy dzieleniu obu stron przez .
Sprawdź odpowiedź
Przy dzieleniu obu stron przez .
Znak nierówności odwraca się tylko przy mnożeniu lub dzieleniu przez liczbę ujemną.
Najkrótsze podsumowanie metod
Znak nierówności zostaje bez zmian, gdy dodajesz, odejmujesz albo dzielisz przez liczbę dodatnią. Znak nierówności odwraca się, gdy mnożysz lub dzielisz obie strony przez liczbę ujemną.
Najbezpieczniejsza kontrola: po rozwiązaniu podstaw jedną liczbę z otrzymanego zbioru i jedną spoza niego.