Nierówności liniowe z jedną niewiadomą

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się rozwiązywać nierówności podobnie jak równania, ale z jedną ważną różnicą: wynikiem zwykle nie jest jedna liczba, tylko cały zbiór liczb.

Plan tej lekcji

Najpierw zobaczysz, co znaczy zapis typu $x<5$ .

Potem rozwiążesz nierówności przez dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie obu stron.

Następnie przećwiczysz nierówności z niewiadomą po obu stronach.

Na końcu sprawdzisz, czy konkretna liczba spełnia nierówność.

Na start

Nierówność opisuje warunek, który może spełniać wiele liczb.

Rozwiązanie nierówności to zbiór wszystkich liczb spełniających ten warunek.

Po tej lekcji:

Uczeń umie rozwiązać prostą nierówność liniową z jedną niewiadomą i sprawdzić, które liczby spełniają warunek.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Co oznacza $x<5$ ?

Zapis $x<5$ oznacza, że szukamy wszystkich liczb mniejszych od $5$ . Pasują na przykład $4$ , $0$ , $-10$ , $4{,}9$ , ale nie pasuje $5$ .

x < 5. Zaznaczenie biegnie ukośnie od punktu granicznego, następnie nad osią; delikatne kreskowanie wskazuje zbiór liczb.

$x<5$

Przykład

Czy liczby $3$ , $5$ i $7$ spełniają nierówność $x<5$ ?

Rozwiązanie

Podstawiamy $x=3$ : $3<5$ , więc liczba $3$ spełnia nierówność. Podstawiamy $x=5$ : $5<5$ jest fałszem, więc liczba $5$ nie spełnia nierówności. Podstawiamy $x=7$ : $7<5$ jest fałszem, więc liczba $7$ nie spełnia nierówności. Rozwiązaniami są liczby leżące po lewej stronie $5$ na osi liczbowej, bez samej liczby $5$ .

Zapamiętaj

Znak $<$ nie obejmuje liczby granicznej.

02WYJAŚNIENIE

Dodawanie i odejmowanie po obu stronach

Do obu stron nierówności można dodać tę samą liczbę albo odjąć tę samą liczbę. Kierunek znaku wtedy się nie zmienia.

$x+4<9$

Przykład

Rozwiąż nierówność $x+4<9$ .

Rozwiązanie

Chcemy zostawić samo $x$ po lewej stronie. Przy $x$ stoi $+4$ , więc odejmujemy $4$ od obu stron. Otrzymujemy $x+4-4<9-4$ . Upraszczamy: $x<5$ . Każda liczba mniejsza od $5$ spełnia nierówność $x+4<9$ .

Zapamiętaj

Dodawanie i odejmowanie tej samej liczby po obu stronach nie zmienia kierunku nierówności.

03WYJAŚNIENIE

Mnożenie i dzielenie przez liczbę dodatnią

Jeżeli dzielimy albo mnożymy obie strony nierówności przez liczbę dodatnią, znak nierówności zostaje taki sam. Działa to tak samo jak w równaniach.

x ≤ 4. Zaznaczenie biegnie ukośnie od punktu granicznego, następnie nad osią; delikatne kreskowanie wskazuje zbiór liczb.

Przykład

Rozwiąż nierówność $3x\leq 12$ .

Rozwiązanie

Chcemy zostawić samo $x$ . Przy $x$ stoi czynnik $3$ , więc dzielimy obie strony przez $3$ . Ponieważ $3$ jest dodatnie, znak $\leq$ zostaje bez zmian. Otrzymujemy $\frac{3x}{3}\leq \frac{12}{3}$ . Upraszczamy: $x\leq 4$ . Rozwiązaniami są wszystkie liczby mniejsze lub równe $4$ .

Wskazówka

Znaki $\leq$ i $\geq$ oznaczają, że liczba graniczna też należy do rozwiązania.

04WYJAŚNIENIE

Niewiadoma po obu stronach

Jeśli $x$ występuje po obu stronach nierówności, przenosimy wyrazy z $x$ na jedną stronę, a liczby na drugą. Najważniejsze jest robienie tej samej operacji po obu stronach.

Zbierz wyrazy z $x$ po jednej stronie.

Zbierz liczby po drugiej stronie.

Na końcu podziel przez współczynnik przy $x$ .

Przykład

Rozwiąż nierówność $5x-7>2x+8$ .

Rozwiązanie

Odejmujemy $2x$ od obu stron, żeby zebrać niewiadome po lewej: $5x-2x-7>8$ . Upraszczamy: $3x-7>8$ . Dodajemy $7$ do obu stron: $3x>15$ . Dzielimy obie strony przez dodatnie $3$ : $x>5$ . Rozwiązaniem są wszystkie liczby większe od $5$ .

05WYJAŚNIENIE

Nierówność z nawiasem

Nawiasy najpierw trzeba uporządkować. Jeśli przed nawiasem stoi liczba, mnożymy ją przez każdy składnik nawiasu.

Przykład

Rozwiąż nierówność $2(x-3)+5\geq x+1$ .

Rozwiązanie

Mnożymy $2$ przez składniki nawiasu: $2(x-3)=2x-6$ . Nierówność ma postać $2x-6+5\geq x+1$ . Upraszczamy lewą stronę: $2x-1\geq x+1$ . Odejmujemy $x$ od obu stron: $x-1\geq 1$ . Dodajemy $1$ do obu stron: $x\geq 2$ . Każda liczba większa lub równa $2$ spełnia nierówność.

Wskazówka

Nie pomijaj drugiego składnika w nawiasie. W zapisie $2(x-3)$ liczba $2$ mnoży zarówno $x$ , jak i $-3$ .

06WYJAŚNIENIE

Sprawdzenie wyniku

Po rozwiązaniu nierówności warto sprawdzić jedną liczbę, która powinna pasować, i jedną, która nie powinna pasować. To szybko wykrywa błąd rachunkowy albo zły kierunek znaku. Takie podstawienie pomaga znaleźć pomyłkę, ale samo nie dowodzi poprawności całego przedziału. Wszystkie rozwiązania otrzymujemy dzięki przekształceniom zachowującym równoważność nierówności.

Przykład

Nierówność liniową rozwiązujesz podobnie jak równanie: porządkujesz strony, przenosisz wyrazy z $x$ na jedną stronę, liczby na drugą, a na końcu dzielisz przez współczynnik przy $x$ . Dodawanie i odejmowanie tej samej liczby po obu stronach nie zmienia znaku nierówności. Mnożenie i dzielenie przez liczbę dodatnią też nie zmienia znaku nierówności. Rozwiązaniem nierówności zwykle jest wiele liczb, dlatego warto umieć zaznaczyć wynik na osi liczbowej.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Co oznacza x<5x<5x<5?

Dodawanie i odejmowanie po obu stronach

Mnożenie i dzielenie przez liczbę dodatnią

Niewiadoma po obu stronach

Nierówność z nawiasem

Sprawdzenie wyniku

Teraz Twoja kolej

Rozwiązaniem nierówności x+6<10x+6<10x+6<10 jest:

Rozwiązaniem nierówności 4x≥204x\geq 204x≥20 jest:

Rozwiąż nierówność 3x+2<x+103x+2< x+103x+2<x+10.

Która liczba spełnia nierówność 2x−1>72x-1>72x−1>7?

Najkrótsze podsumowanie metod

Co oznacza $x<5$ ?

Rozwiązaniem nierówności $x+6<10$ jest:

Rozwiązaniem nierówności $4x\geq 20$ jest:

Rozwiąż nierówność $3x+2< x+10$ .

Która liczba spełnia nierówność $2x-1>7$ ?