Zapis rozwiązania nierówności przedziałem

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się zapisywać rozwiązania nierówności trzema sposobami: nierównością, rysunkiem na osi i przedziałem. Szczególnie ważne będą nawiasy okrągłe i kwadratowe przy liczbie granicznej.

Plan tej lekcji

Najpierw odróżnisz kółko puste od zamalowanego.

Potem zapiszesz nierówności typu $x<3$ , $x\geq -2$ jako przedziały.

Następnie przećwiczysz przedziały ograniczone z dwóch stron.

Na końcu przypomnisz sobie, jak zapisuje się nieskończoność.

Na start

Nawias okrągły oznacza, że końca przedziału nie bierzemy.

Nawias kwadratowy oznacza, że koniec przedziału należy do rozwiązania.

Po tej lekcji:

Uczeń umie zapisać rozwiązanie nierówności na osi liczbowej oraz w postaci przedziału.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Puste i zamalowane kółko

Na osi liczbowej puste kółko oznacza, że liczba graniczna nie należy do rozwiązania. Zamalowane kółko oznacza, że liczba graniczna należy do rozwiązania.

Porównanie x<2 z pustym kółkiem oraz x≤2 z pełnym kółkiem. Oba zakresy biegną w lewo nad osią i są delikatnie kreskowane.

$x<2 \quad \text{bez liczby }2$

$x\leq 2 \quad \text{razem z liczbą }2$

Zapamiętaj

$<$ i $>$ dają puste kółko.

$\leq$ i $\geq$ dają zamalowane kółko.

02WYJAŚNIENIE

Przedział dla $x<3$

Nierówność $x<3$ oznacza wszystkie liczby mniejsze od $3$ . W zapisie przedziałem zaczynamy od $-\infty$ , czyli minus nieskończoności, i kończymy na $3$ . Liczba $3$ nie należy do rozwiązania, więc przy $3$ jest nawias okrągły.

Oś liczbowa z pustym kółkiem przy 3 i zaznaczeniem liczb mniejszych od 3.

$x<3$

$x\in (-\infty,3)$

Przykład

Zapisz rozwiązanie $x<3$ w postaci przedziału.

Rozwiązanie

Liczby mniejsze od $3$ leżą na osi w lewo od $3$ . W lewo nie ma najmniejszej liczby, więc zapis zaczyna się od $-\infty$ . Liczba $3$ nie należy do rozwiązania, bo znak jest ostry: $<$ . Zapisujemy przedział: $(-\infty,3)$ . Przedział $(-\infty,3)$ oznacza wszystkie liczby mniejsze od $3$ .

Wskazówka

Przy nieskończoności zawsze stosujemy nawias okrągły. Nie piszemy $[-\infty,3)$ , bo $-\infty$ nie jest liczbą.

03WYJAŚNIENIE

Przedział dla $x\geq -1$

Nierówność $x\geq -1$ oznacza liczby większe od $-1$ oraz samą liczbę $-1$ . Dlatego przy $-1$ w przedziale używamy nawiasu kwadratowego.

x ≥ −1. Zaznaczenie biegnie ukośnie od punktu granicznego, następnie nad osią; delikatne kreskowanie wskazuje zbiór liczb.

$x\geq -1$

$x\in [-1,\infty)$

Przykład

Zapisz rozwiązanie $x\geq -1$ w postaci przedziału.

Rozwiązanie

Liczby większe od $-1$ leżą na osi w prawo od $-1$ . Liczba $-1$ należy do rozwiązania, bo znak $\geq$ zawiera równość. Przy $-1$ zapisujemy nawias kwadratowy. W prawo nie ma największej liczby, więc przedział kończy się na $\infty$ . Zapisujemy: $[-1,\infty)$ . Przedział $[-1,\infty)$ zawiera $-1$ i wszystkie liczby większe od $-1$ .

04WYJAŚNIENIE

Przedział ograniczony z dwóch stron

Zapis $-2<x\leq 4$ oznacza liczby większe od $-2$ i jednocześnie mniejsze lub równe $4$ . Lewy koniec nie należy do rozwiązania, prawy koniec należy.

−2 < x ≤ 4. Zaznaczenie biegnie ukośnie od punktu granicznego, następnie nad osią; delikatne kreskowanie wskazuje zbiór liczb.

$-2<x\leq 4$

$x\in (-2,4]$

Przykład

Zapisz nierówność $-2<x\leq 4$ w postaci przedziału.

Rozwiązanie

Lewa granica to $-2$ . Znak przy $-2$ jest ostry, więc $-2$ nie należy do rozwiązania. Prawa granica to $4$ . Znak przy $4$ zawiera równość, więc $4$ należy do rozwiązania. Zapisujemy: $(-2,4]$ . Przedział $(-2,4]$ zawiera na przykład $0$ i $4$ , ale nie zawiera $-2$ .

05WYJAŚNIENIE

Od wyniku nierówności do przedziału

Po rozwiązaniu nierówności często trzeba od razu zapisać odpowiedź jako przedział. Najpierw ustal kierunek: w lewo czy w prawo. Potem ustal, czy liczba graniczna należy do rozwiązania.

Przykład

Rozwiąż nierówność $2x-5\leq 7$ i zapisz wynik przedziałem.

Rozwiązanie

Dodajemy $5$ do obu stron: $2x\leq 12$ . Dzielimy przez dodatnie $2$ : $x\leq 6$ . Znak $\leq$ oznacza, że liczba $6$ należy do rozwiązania. Rozwiązania idą w lewo od $6$ . Zapis przedziałem: $(-\infty,6]$ . Wszystkie liczby mniejsze lub równe $6$ spełniają nierówność.

Wskazówka

Przy zapisie przedziału liczby zawsze piszemy od mniejszej do większej. Dlatego dla $x\leq 6$ zapisujemy $(-\infty,6]$ , a nie $[6,-\infty)$ .

06WYJAŚNIENIE

Odczytywanie z osi liczbowej

Jeśli zadanie pokazuje oś, czytaj ją od lewej do prawej. Puste kółko daje nawias okrągły, zamalowane daje nawias kwadratowy, a strzałka oznacza nieskończoność.

Przykład

Na osi zaznaczono puste kółko przy $3$ i zaznaczenie w prawo. Jaki to przedział?

Rozwiązanie

Zaznaczenie w prawo oznacza liczby większe od $3$ . Puste kółko przy $3$ oznacza, że $3$ nie należy do rozwiązania. W prawo nie ma największej liczby, więc używamy $\infty$ . Zapisujemy przedział: $(3,\infty)$ . Oś przedstawia rozwiązanie $x>3$ .

Zapamiętaj

Puste kółko: nawias okrągły.

Zamalowane kółko: nawias kwadratowy.

Strzałka: przedział z nieskończonością.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Nierówność $x<7$ zapisana przedziałem to:

$(-\infty,7)$

$(-\infty,7]$

$(7,\infty)$

$[7,\infty)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$(-\infty,7)$

Znak $<$ nie obejmuje $7$ , więc przy $7$ jest nawias okrągły. Liczby mniejsze od $7$ idą od $-\infty$ do $7$ .

PYTANIE 02

Nierówność $x\geq -3$ zapisana przedziałem to:

$(-\infty,-3]$

$(-3,\infty)$

$[-3,\infty)$

$(-\infty,-3)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$[-3,\infty)$

Znak $\geq$ obejmuje $-3$ , więc przy $-3$ jest nawias kwadratowy. Rozwiązania idą w prawo.

PYTANIE 03

Przedział $(1,5]$ oznacza:

$1<x\leq 5$

$1\leq x<5$

$1<x<5$

$1\leq x\leq 5$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$1<x\leq 5$

Nawias okrągły przy $1$ oznacza, że $1$ nie należy do przedziału. Nawias kwadratowy przy $5$ oznacza, że $5$ należy.

PYTANIE 04

Rozwiązaniem nierówności $3x+1>10$ zapisanym przedziałem jest:

$(-\infty,3)$

$(3,\infty)$

$[3,\infty)$

$(-\infty,3]$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$(3,\infty)$

Odejmujemy $1$ : $3x>9$ . Dzielimy przez $3$ : $x>3$ . Znak ostry daje przedział $(3,\infty)$ .

NA KONIEC

Najkrótsze podsumowanie metod

Zapis $x<a$ daje przedział $(-\infty,a)$ . Zapis $x\leq a$ daje przedział $(-\infty,a]$ . Zapis $x>a$ daje przedział $(a,\infty)$ . Zapis $x\geq a$ daje przedział $[a,\infty)$ . Przy liczbie granicznej nawias kwadratowy oznacza, że liczba należy do rozwiązania. Nawias okrągły oznacza, że liczba nie należy. Przy $-\infty$ i $\infty$ zawsze używamy nawiasu okrągłego.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Puste i zamalowane kółko

Przedział dla x<3x<3x<3

Przedział dla x≥−1x\geq -1x≥−1

Przedział ograniczony z dwóch stron

Od wyniku nierówności do przedziału

Odczytywanie z osi liczbowej

Teraz Twoja kolej

Nierówność x<7x<7x<7 zapisana przedziałem to:

Nierówność x≥−3x\geq -3x≥−3 zapisana przedziałem to:

Przedział (1,5](1,5](1,5] oznacza:

Rozwiązaniem nierówności 3x+1>103x+1>103x+1>10 zapisanym przedziałem jest:

Najkrótsze podsumowanie metod

Przedział dla $x<3$

Przedział dla $x\geq -1$

Nierówność $x<7$ zapisana przedziałem to:

Nierówność $x\geq -3$ zapisana przedziałem to:

Przedział $(1,5]$ oznacza:

Rozwiązaniem nierówności $3x+1>10$ zapisanym przedziałem jest: