Nierówności w zadaniach tekstowych

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się układać nierówności z treści zadania. Najważniejsze będzie rozpoznanie, czy w zadaniu chodzi o wartość większą, mniejszą, co najmniej równą albo co najwyżej równą.

Plan tej lekcji

Najpierw przetłumaczysz słowa na znaki nierówności.

Potem ułożysz nierówność z kosztów i limitów.

Następnie uwzględnisz warunek, że liczba rzeczy musi być całkowita.

Na końcu nauczysz się pisać odpowiedź pełnym zdaniem.

Na start

W zadaniu tekstowym wynik algebraiczny trzeba dopasować do sensu sytuacji.

Liczba biletów, osób lub przedmiotów zwykle musi być liczbą całkowitą.

Po tej lekcji:

Uczeń umie zamienić prostą treść zadania na nierówność liniową, rozwiązać ją i zinterpretować wynik zgodnie z warunkami zadania.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Słowa, które mówią o znaku

W zadaniach tekstowych znak nierówności często ukrywa się w słowach. „Mniej niż” daje znak $<$ , a „nie więcej niż” daje znak $\leq$ , bo dopuszcza równość.

Pokazać najważniejsze tłumaczenia słów na znaki nierówności.

„więcej niż” oznacza $>$

„mniej niż” oznacza $<$

„co najmniej” oznacza $\geq$

„nie mniej niż” oznacza $\geq$

„co najwyżej” oznacza $\leq$

„nie więcej niż” oznacza $\leq$

Przykład

Zapisz warunek: liczba punktów $p$ jest co najmniej równa $30$ .

Rozwiązanie

Słowa „co najmniej” oznaczają, że $30$ też jest dozwolone. Dozwolone są liczby $30$ i większe. Zapisujemy nierówność: $p\geq 30$ . Wynik $p=30$ spełnia warunek, bo „co najmniej” obejmuje równość.

02WYJAŚNIENIE

Koszt nie może przekroczyć budżetu

Jeśli w zadaniu jest budżet, całkowity koszt ma być nie większy od tej kwoty. Słowa „nie może przekroczyć” zapisujemy znakiem $\leq$ .

Przykład

Bilet do kina kosztuje $18$ zł. Ile maksymalnie biletów można kupić za $100$ zł?

Rozwiązanie

Oznaczamy liczbę biletów przez $x$ . Koszt $x$ biletów to $18x$ . Koszt nie może przekroczyć $100$ zł, więc zapisujemy $18x\leq 100$ . Dzielimy przez $18$ : $x\leq \frac{100}{18}$ . $\frac{100}{18}=5\frac{5}{9}$ , czyli $x\leq 5{,}55\ldots$ . Liczba biletów musi być całkowita, więc maksymalnie można kupić $5$ biletów. Wynik nierówności daje granicę około $5{,}55$ , ale w sytuacji z biletami wybieramy największą liczbę całkowitą, czyli $5$ .

Zapamiętaj

Przy pytaniu „ile maksymalnie” po rozwiązaniu nierówności często trzeba zaokrąglić w dół do liczby całkowitej.

03WYJAŚNIENIE

Co najmniej tyle, ile potrzeba

Jeżeli trzeba osiągnąć pewną minimalną wartość, używamy znaku $\geq$ . Potem przy liczbach całkowitych często wybieramy najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą warunek.

Pokazać, dlaczego wynik $6\frac{2}{3}$ opakowania trzeba zaokrąglić do $7$.

Przykład

Jedno opakowanie płytek wystarcza na $3\text{ m}^2$ . Ile co najmniej opakowań trzeba kupić, żeby pokryć $20\text{ m}^2$ ?

Rozwiązanie

Oznaczamy liczbę opakowań przez $x$ . $x$ opakowań wystarcza na $3x\text{ m}^2$ . Trzeba pokryć co najmniej $20\text{ m}^2$ , więc $3x\geq 20$ . Dzielimy przez $3$ : $x\geq \frac{20}{3}$ . $\frac{20}{3}=6\frac{2}{3}$ . Liczba opakowań musi być całkowita, więc trzeba kupić co najmniej $7$ opakowań. $6$ opakowań wystarczyłoby tylko na $18\text{ m}^2$ , więc trzeba wziąć $7$ .

04WYJAŚNIENIE

Opłata stała i koszt za sztukę

W wielu zadaniach koszt składa się z części stałej i części zależnej od liczby sztuk. Najpierw zapisujemy wzór na koszt całkowity, a dopiero potem układamy nierówność.

Przykład

Wypożyczenie sali kosztuje $120$ zł oraz $15$ zł za każdą osobę. Ile osób może przyjść, jeśli całkowity koszt ma być nie większy niż $500$ zł?

Rozwiązanie

Oznaczamy liczbę osób przez $x$ . Koszt stały to $120$ zł. Koszt zależny od liczby osób to $15x$ . Koszt całkowity to $120+15x$ . Warunek „nie większy niż $500$ ” zapisujemy: $120+15x\leq 500$ . Odejmujemy $120$ : $15x\leq 380$ . Dzielimy przez $15$ : $x\leq \frac{380}{15}=25\frac{1}{3}$ . Liczba osób musi być całkowita, więc może przyjść maksymalnie $25$ osób. $26$ osób kosztowałoby $120+15\cdot 26=510$ zł, czyli za dużo.

Wskazówka

W zadaniach o kosztach podkreśl osobno opłatę stałą i koszt zależny od $x$ .

05WYJAŚNIENIE

Warunek z zyskiem lub punktami

Jeżeli pytanie dotyczy osiągnięcia progu, na przykład minimalnej liczby punktów, zwykle pojawia się nierówność z $\geq$ . Granica też się liczy, jeśli treść mówi „co najmniej”.

Przykład

Uczeń ma już $42$ punkty. Za każde poprawne zadanie dostaje $4$ punkty. Ile zadań musi jeszcze rozwiązać, aby mieć co najmniej $70$ punktów?

Rozwiązanie

Oznaczamy liczbę dodatkowych zadań przez $x$ . Punkty za dodatkowe zadania to $4x$ . Łączna liczba punktów to $42+4x$ . Warunek „co najmniej $70$ ” zapisujemy: $42+4x\geq 70$ . Odejmujemy $42$ : $4x\geq 28$ . Dzielimy przez $4$ : $x\geq 7$ . Uczeń musi rozwiązać co najmniej $7$ zadań.

Zapamiętaj

Jeśli wynik jest dokładnie całkowity, nie trzeba zaokrąglać. Tu granica to $7$ .

06WYJAŚNIENIE

Ograniczenie z dwóch stron

Czasem liczba musi spełniać dwa warunki naraz. Na przykład wiek może być co najmniej $15$ lat i mniej niż $18$ lat. Wtedy zapisujemy podwójną nierówność.

15 ≤ x < 18. Zaznaczenie biegnie ukośnie od punktu granicznego, następnie nad osią; delikatne kreskowanie wskazuje zbiór liczb.

$15\leq x<18$

Przykład

Ulgowy bilet przysługuje osobom, które mają co najmniej $15$ lat, ale mniej niż $18$ lat. Zapisz warunek dla wieku $x$ .

Rozwiązanie

„Co najmniej $15$ ” oznacza $x\geq 15$ . „Mniej niż $18$ ” oznacza $x<18$ . Oba warunki mają być spełnione jednocześnie. Zapisujemy razem: $15\leq x<18$ . Osoba w wieku $15$ , $16$ albo $17$ lat spełnia warunek, ale osoba w wieku $18$ lat już nie.

07WYJAŚNIENIE

Odpowiedź musi pasować do pytania

Samo rozwiązanie nierówności nie zawsze jest końcem zadania. Jeśli pytanie brzmi „ile maksymalnie”, podajesz największą dopuszczalną liczbę. Jeśli pytanie brzmi „ile co najmniej”, podajesz najmniejszą dopuszczalną liczbę.

Przykład

Paczka waży $0{,}8$ kg. Kurier przyjmuje paczki o łącznej masie nie większej niż $10$ kg. Ile maksymalnie takich paczek można nadać?

Rozwiązanie

Oznaczamy liczbę paczek przez $x$ . Łączna masa to $0{,}8x$ . Warunek „nie większa niż $10$ ” zapisujemy: $0{,}8x\leq 10$ . Dzielimy przez $0{,}8$ : $x\leq 12{,}5$ . Liczba paczek musi być całkowita. Największa liczba całkowita nie większa niż $12{,}5$ to $12$ . Można nadać maksymalnie $12$ paczek.

Wskazówka

Nie zaokrąglaj zawsze do najbliższej liczby. Przy maksimum zaokrąglasz w dół, a przy minimum potrzebnych sztuk często w górę.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Długopis kosztuje $4$ zł. Ile maksymalnie długopisów można kupić za $30$ zł?

$6$

$7$

$8$

$10$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$7$

Układamy $4x\leq 30$ , więc $x\leq 7{,}5$ . Liczba długopisów jest całkowita, więc maksymalnie można kupić $7$ .

PYTANIE 02

Jedno pudełko farby wystarcza na $6\text{ m}^2$ . Ile co najmniej pudełek potrzeba na $32\text{ m}^2$ ?

$5$

$6$

$7$

$8$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$6$

Układamy $6x\geq 32$ , więc $x\geq \frac{32}{6}=5\frac{1}{3}$ . Trzeba kupić całe pudełka, więc co najmniej $6$ .

PYTANIE 03

Taksówka kosztuje $9$ zł opłaty początkowej i $3$ zł za kilometr. Która nierówność opisuje koszt nie większy niż $60$ zł dla $x$ kilometrów?

$9+3x\leq 60$

$9+3x\geq 60$

$9x+3\leq 60$

$3x-9\leq 60$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$9+3x\leq 60$

Koszt całkowity to opłata stała $9$ zł plus $3x$ za kilometry. „Nie większy niż $60$ ” daje znak $\leq$ .

PYTANIE 04

Warunek „liczba $x$ jest co najmniej równa $12$ ” zapisujemy jako:

$x>12$

$x<12$

$x\geq 12$

$x\leq 12$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$x\geq 12$

„Co najmniej $12$ ” oznacza $12$ lub więcej, więc $x\geq 12$ .

NA KONIEC

Najkrótsze podsumowanie metod

W zadaniu tekstowym najpierw nazwij niewiadomą, na przykład $x$ jako liczbę sztuk, osób albo kilometrów. Potem zapisz wyrażenie z treści: koszt, liczbę punktów, masę albo powierzchnię. Słowa „co najmniej” i „nie mniej niż” dają $\geq$ . Słowa „co najwyżej” i „nie więcej niż” dają $\leq$ . Po rozwiązaniu nierówności sprawdź sens wyniku. Jeśli $x$ oznacza liczbę przedmiotów, osób albo opakowań, odpowiedź musi być liczbą całkowitą.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Słowa, które mówią o znaku

Koszt nie może przekroczyć budżetu

Co najmniej tyle, ile potrzeba

Opłata stała i koszt za sztukę

Warunek z zyskiem lub punktami

Ograniczenie z dwóch stron

Odpowiedź musi pasować do pytania

Teraz Twoja kolej

Długopis kosztuje 444 zł. Ile maksymalnie długopisów można kupić za 303030 zł?

Jedno pudełko farby wystarcza na 6 m26\text{ m}^26 m2. Ile co najmniej pudełek potrzeba na 32 m232\text{ m}^232 m2?

Taksówka kosztuje 999 zł opłaty początkowej i 333 zł za kilometr. Która nierówność opisuje koszt nie większy niż 606060 zł dla xxx kilometrów?

Warunek „liczba xxx jest co najmniej równa 121212” zapisujemy jako:

Najkrótsze podsumowanie metod

Długopis kosztuje $4$ zł. Ile maksymalnie długopisów można kupić za $30$ zł?

Jedno pudełko farby wystarcza na $6\text{ m}^2$ . Ile co najmniej pudełek potrzeba na $32\text{ m}^2$ ?

Taksówka kosztuje $9$ zł opłaty początkowej i $3$ zł za kilometr. Która nierówność opisuje koszt nie większy niż $60$ zł dla $x$ kilometrów?

Warunek „liczba $x$ jest co najmniej równa $12$ ” zapisujemy jako: