Przekształcenia wyrażeń z logarytmami

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji połączysz definicję logarytmu z własnościami działań. Będziesz rozbijać jeden logarytm na kilka prostszych albo składać kilka logarytmów w jeden zapis.

Plan tej lekcji

Najpierw nauczysz się rozwijać logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi.

Potem przećwiczysz składanie wyrażenia w jeden logarytm.

Na końcu użyjesz tych przekształceń w krótkich zadaniach maturalnych.

Na start

Przekształcanie logarytmów polega na wyborze kierunku: rozbić zapis albo go złożyć.

Po tej lekcji:

Uczeń ma umieć upraszczać i przekształcać wyrażenia z logarytmami, stosując definicję oraz własności logarytmów.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Rozbijanie jednego logarytmu

Jeśli w argumencie logarytmu widzisz mnożenie, dzielenie albo potęgę, możesz rozbić zapis na prostsze logarytmy. To przydaje się, gdy znasz wartości pojedynczych logarytmów. We wzorze literowym przyjmujemy $a>0$ , $a\ne1$ oraz $x,y,z>0$ . Dzięki temu wszystkie logarytmy po rozbiciu są określone.

$\log_{a}\frac{x^{2}y}{z}=2\log_{a}x+\log_{a}y-\log_{a}z$

Przykład

Rozwiń wyrażenie $\log_2\frac{8^2\cdot 4}{16}$ .

Rozwiązanie

W liczniku jest iloczyn $8^2\cdot 4$ , a w mianowniku $16$ . Logarytm ilorazu rozbijamy na różnicę: $\log_2(8^2\cdot4)-\log_2 16$ . Logarytm iloczynu rozbijamy na sumę: $\log_2 8^2+\log_2 4-\log_2 16$ . Potęgę $8^2$ rozbijamy: $2\log_2 8+\log_2 4-\log_2 16$ . Rozbicie pokazuje, które proste logarytmy trzeba policzyć.

Wskazówka

Delta radzi: najpierw rozdziel ułamek na „licznik minus mianownik”, potem iloczyny na sumy, a potęgi zostaw na koniec.

02WYJAŚNIENIE

Liczenie po rozbiciu

Po rozbiciu wyrażenia często zostają proste logarytmy, które liczy się z potęg.

$\log_2\frac{8^2\cdot 4}{16}=4$

Przykład

Oblicz $\log_2\frac{8^2\cdot 4}{16}$ .

Rozwiązanie

Korzystamy z rozbicia: $\log_2\frac{8^2\cdot 4}{16}=2\log_2 8+\log_2 4-\log_2 16$ . Obliczamy proste logarytmy: $\log_2 8=3$ , $\log_2 4=2$ , $\log_2 16=4$ . Podstawiamy: $2\cdot 3+2-4$ . Liczymy: $6+2-4=4$ . Całe wyrażenie jest równe $4$ , czyli argument logarytmu jest równy $2^4$ .

Zapamiętaj

Rozbicie logarytmu ma sens wtedy, gdy prowadzi do prostszych składników.

03WYJAŚNIENIE

Składanie w jeden logarytm

Czasem zadanie działa w drugą stronę: trzeba z kilku logarytmów zrobić jeden. Wtedy liczby stojące przed logarytmami najpierw zamieniaj na wykładniki.

Pokazać kolejność składania: mnożnik przed logarytmem najpierw jako wykładnik, potem plus i minus jako działania na argumentach.

$3\log_2 x-\log_2 y+\log_2 5=\log_2\frac{5x^3}{y}$

Przykład

Zapisz jako jeden logarytm: $3\log_2 x-\log_2 y+\log_2 5$ , gdzie $x>0$ , $y>0$ .

Rozwiązanie

Liczba $3$ przed logarytmem wraca jako wykładnik: $3\log_2 x=\log_2 x^3$ . Otrzymujemy $\log_2 x^3-\log_2 y+\log_2 5$ . Różnica dwóch pierwszych logarytmów daje $\log_2\frac{x^3}{y}$ . Dodanie $\log_2 5$ oznacza mnożenie argumentów: $\log_2\frac{5x^3}{y}$ . Jeden logarytm przechowuje wszystkie operacje: potęgowanie $x$ , dzielenie przez $y$ i mnożenie przez $5$ .

04WYJAŚNIENIE

Warunki przed skracaniem rachunku

W wyrażeniach z literami trzeba pamiętać, że argument każdego logarytmu musi być dodatni. Warunki zapisujemy przed przekształcaniem, bo uproszczony zapis może ukryć część ograniczeń.

$\log_2 x+\log_2(x-3)$

Dla $\log_2 x$ trzeba mieć $x>0$ .

Dla $\log_2(x-3)$ trzeba mieć $x-3>0$ , czyli $x>3$ .

Razem zostaje ostrzejszy warunek: $x>3$ .

Przykład

Podaj warunek dla wyrażenia $\log_5(x-1)+\log_5(2x)$ .

Rozwiązanie

Pierwszy argument to $x-1$ , więc musi być $x-1>0$ . Z tego wynika $x>1$ . Drugi argument to $2x$ , więc musi być $2x>0$ , czyli $x>0$ . Oba warunki naraz dają $x>1$ . Wyrażenie ma sens tylko dla $x>1$ , nawet jeśli po połączeniu wyglądałoby jak jeden logarytm.

Wskazówka

Nie zaczynaj od połączenia $\log_5(x-1)+\log_5(2x)$ bez sprawdzenia warunków. Argumenty pojedynczych logarytmów muszą być dodatnie osobno.

05WYJAŚNIENIE

Proste równanie z logarytmem

Jeśli masz równanie typu $\log_a x=c$ , wracasz do definicji. Wynik logarytmu staje się wykładnikiem.

$\log_a x=c \quad \Longleftrightarrow \quad x=a^c$

Przykład

Rozwiąż równanie $\log_3 x=4$ .

Rozwiązanie

Zamieniamy logarytm na potęgę: $3^4=x$ . Liczymy $3^4=81$ . Otrzymujemy $x=81$ . Sprawdzamy warunek: argument logarytmu to $x$ , więc $x>0$ . Liczba $81$ spełnia ten warunek. Rozwiązanie $x=81$ oznacza, że $\log_3 81=4$ .

Zapamiętaj

Przy równaniu z jednym logarytmem definicja zwykle wystarcza.

06WYJAŚNIENIE

Równanie po złożeniu logarytmów

Gdy w równaniu są dwa logarytmy o tej samej podstawie, często najpierw składasz je w jeden, a potem używasz definicji.

Przykład

Rozwiąż równanie $\log_2 x+\log_2 4=5$ , gdzie $x>0$ .

Rozwiązanie

Suma logarytmów o tej samej podstawie daje logarytm iloczynu: $\log_2(4x)=5$ . Zamieniamy na potęgę: $2^5=4x$ . Liczymy $2^5=32$ , więc $32=4x$ . Dzielimy przez $4$ : $x=8$ . Warunek $x>0$ jest spełniony. Liczba $x=8$ działa, bo $\log_2 8+\log_2 4=3+2=5$ .

Wskazówka

Nie przechodź z $\log_2 x+\log_2 4=5$ do $\log_2(x+4)=5$ . Plus między logarytmami oznacza mnożenie argumentów.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Wyrażenie $2\log_3 x+\log_3 y$ jest równe:

$\log_3(2xy)$

$\log_{3}(x^{2}y)$

$\log_3(x+y)^2$

$\log_6(xy)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$\log_{3}(x^{2}y)$

Liczba $2$ przechodzi na wykładnik przy $x$ , a suma logarytmów daje iloczyn argumentów: $\log_{3}(x^{2}y)$ .

PYTANIE 02

Warunkiem istnienia wyrażenia $\log_2(x-5)$ jest:

$x>0$

$x>5$

$x<5$

$x\neq 5$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$x>5$

Argument logarytmu musi być dodatni, więc $x-5>0$ , czyli $x>5$ .

PYTANIE 03

Ile wynosi $x$ , jeśli $\log_4 x=3$ ?

$7$

$12$

$64$

$81$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$64$

Z definicji $\log_4 x=3$ oznacza $4^3=x$ , więc $x=64$ .

PYTANIE 04

Wyrażenie $\log_5 25+\log_5 x$ można zapisać jako:

$\log_5(25x)$

$\log_5(25+x)$

$\log_{10}(25x)$

$25\log_5 x$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$\log_5(25x)$

Suma logarytmów o tej samej podstawie to logarytm iloczynu argumentów, więc otrzymujemy $\log_5(25x)$ .

NA KONIEC

Co zapamiętać z przekształceń?

Przy przekształcaniu logarytmów najpierw zdecyduj, czy rozbijasz jeden logarytm, czy składasz kilka w jeden. Plus między logarytmami oznacza mnożenie argumentów, minus oznacza dzielenie, a liczba przed logarytmem może stać się wykładnikiem argumentu. W wyrażeniach z literami sprawdzaj dodatniość argumentów przed uproszczeniem. Równanie $\log_a x=c$ rozwiązuj przez zapis $x=a^c$ .

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Rozbijanie jednego logarytmu

Liczenie po rozbiciu

Składanie w jeden logarytm

Warunki przed skracaniem rachunku

Proste równanie z logarytmem

Równanie po złożeniu logarytmów

Teraz Twoja kolej

Wyrażenie 2log⁡3x+log⁡3y2\log_3 x+\log_3 y2log3​x+log3​y jest równe:

Warunkiem istnienia wyrażenia log⁡2(x−5)\log_2(x-5)log2​(x−5) jest:

Ile wynosi xxx, jeśli log⁡4x=3\log_4 x=3log4​x=3?

Wyrażenie log⁡525+log⁡5x\log_5 25+\log_5 xlog5​25+log5​x można zapisać jako:

Co zapamiętać z przekształceń?

Wyrażenie $2\log_3 x+\log_3 y$ jest równe:

Warunkiem istnienia wyrażenia $\log_2(x-5)$ jest:

Ile wynosi $x$ , jeśli $\log_4 x=3$ ?

Wyrażenie $\log_5 25+\log_5 x$ można zapisać jako: