Logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się trzech własności logarytmów: dla iloczynu, ilorazu i potęgi. Każdą regułę zobaczysz najpierw na liczbach, a dopiero potem w zapisie ogólnym.

Plan tej lekcji

Najpierw połączysz sumę logarytmów w jeden logarytm.

Potem zobaczysz, dlaczego różnica logarytmów oznacza iloraz.

Na końcu przećwiczysz przenoszenie wykładnika przed logarytm.

Na start

Te własności działają tylko przy tej samej podstawie logarytmu.

Argumenty logarytmów muszą być dodatnie.

Po tej lekcji:

Uczeń ma umieć stosować podstawowe własności logarytmów do rozbijania i łączenia wyrażeń.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Suma logarytmów oznacza logarytm iloczynu

Jeśli logarytmy mają tę samą podstawę, ich suma odpowiada mnożeniu argumentów. Najłatwiej zobaczyć to na potęgach.

W regułach tej lekcji zakładamy $a>0$ , $a\ne1$ oraz dodatnie argumenty $x$ i $y$ . Sam dodatni iloczyn nie wystarcza: logarytmy z dwóch ujemnych czynników nie są określone w liczbach rzeczywistych.

$\log_2 8+\log_2 4=3+2=5$

$\log_2(8\cdot 4)=\log_2 32=5$

Gdy podstawy są takie same, możesz połączyć sumę logarytmów.

Argumenty wtedy mnożysz.

Nie mnożysz wyników logarytmów, tylko argumenty wewnątrz jednego logarytmu.

$\log_a x+\log_a y=\log_a(xy)$

Przykład

Zapisz jako jeden logarytm: $\log_3 9+\log_3 27$ .

Rozwiązanie

Podstawy obu logarytmów są takie same i wynoszą $3$ . Suma logarytmów oznacza logarytm iloczynu argumentów. Mnożymy argumenty: $9\cdot 27=243$ . Otrzymujemy $\log_3 243$ . Dwa logarytmy przy tej samej podstawie można zastąpić jednym logarytmem z iloczynu argumentów.

02WYJAŚNIENIE

Różnica logarytmów oznacza logarytm ilorazu

Odejmowanie logarytmów przy tej samej podstawie odpowiada dzieleniu argumentów. Znak minus między logarytmami zamienia się w kreskę ułamkową wewnątrz jednego logarytmu.

$\log_a x-\log_a y=\log_a\frac{x}{y}$

Przykład

Zapisz jako jeden logarytm: $\log_5 125-\log_5 25$ .

Rozwiązanie

Podstawy obu logarytmów są takie same i wynoszą $5$ . Różnica logarytmów oznacza logarytm ilorazu. Dzielimy argumenty: $\frac{125}{25}=5$ . Otrzymujemy $\log_5 5$ , czyli wartość całego wyrażenia wynosi $1$ . Odejmowanie logarytmów zmniejsza wykładnik tak jak dzielenie potęg o tej samej podstawie.

Wskazówka

Nie zapisuj $\log_5 125-\log_5 25=\log_5(125-25)$ . Przy różnicy logarytmów argumenty dzielimy, nie odejmujemy.

03WYJAŚNIENIE

Wykładnik można przenieść przed logarytm

Logarytm potęgi pozwala przenieść wykładnik przed logarytm. W praktyce używasz tej własności w obie strony: do rozbijania potęgi albo do składania wyrażenia.

$\log_a(x^k)=k\log_a x$

Przykład

Uprość $\log_2 8^4$ .

Rozwiązanie

Rozpoznajemy potęgę w argumencie: $8^4$ . Przenosimy wykładnik $4$ przed logarytm: $\log_2 8^4=4\log_2 8$ . Obliczamy $\log_2 8=3$ . Dostajemy $4\cdot 3=12$ . Wynik $12$ zgadza się z tym, że $8^4=(2^3)^4=2^{12}$ .

Zapamiętaj

Własność dotyczy wykładnika argumentu, nie podstawy logarytmu.

$\log_a(x^k)$ zamienia się na $k\log_a x$ .

04WYJAŚNIENIE

Trzy własności obok siebie

W zadaniach często trzeba rozpoznać, która operacja występuje między logarytmami albo w argumencie. Suma to iloczyn, różnica to iloraz, potęga to mnożnik przed logarytmem.

Zebrać trzy reguły w formie prostego schematu wyboru.

$\log_a x-\log_a y=\log_a\frac{x}{y}$

$\log_a x+\log_a y=\log_a(xy)$

$\log_a(x^k)=k\log_a x$

Plus między logarytmami: pomnóż argumenty.

Minus między logarytmami: podziel argumenty.

Potęga w argumencie: przenieś wykładnik przed logarytm.

Podstawa logarytmów musi być taka sama.

05WYJAŚNIENIE

Nie łącz logarytmów o różnych podstawach

Własności iloczynu i ilorazu wymagają tej samej podstawy logarytmu. Jeśli podstawy są różne, nie możesz od razu połączyć logarytmów w jeden.

$\log_2 8+\log_3 9 \neq \log_2(8\cdot 9)$

Przykład

Czy można zapisać $\log_2 8+\log_3 9$ jako $\log_2 72$ ?

Rozwiązanie

Pierwszy logarytm ma podstawę $2$ . Drugi logarytm ma podstawę $3$ . Własność sumy logarytmów działa tylko przy tej samej podstawie. Nie można zapisać tego wyrażenia jako $\log_2 72$ . Najpierw trzeba sprawdzić podstawy. Dopiero potem można stosować reguły.

Wskazówka

Najczęstszy błąd to patrzenie tylko na znak $+$ lub $-$ . Zanim połączysz logarytmy, sprawdź, czy mają taką samą podstawę.

06WYJAŚNIENIE

Przykład mieszany z kilkoma własnościami

W dłuższym wyrażeniu działaj od lewej do prawej i nazywaj operacje: suma, różnica, potęga. Wtedy nie zgubisz, co dzieje się z argumentami.

$2\log_{3}x+\log_{3}y-\log_{3}z=\log_{3}\frac{x^{2}y}{z}$

Przykład

Zapisz jako jeden logarytm: $2\log_3 x+\log_3 y-\log_3 z$ , gdzie $x>0$ , $y>0$ , $z>0$ .

Rozwiązanie

Liczba $2$ przed logarytmem wraca jako wykładnik: $2\log_3 x=\log_3 x^2$ . Mamy teraz $\log_3 x^2+\log_3 y-\log_3 z$ . Suma dwóch pierwszych logarytmów daje $\log_{3}(x^{2}y)$ . Różnica z $\log_3 z$ daje $\log_{3}\frac{x^{2}y}{z}$ . Wynik jest jednym logarytmem, bo wszystkie logarytmy miały tę samą podstawę $3$ .

Wskazówka

Delta radzi: liczba przed logarytmem zwykle powinna wrócić jako wykładnik, zanim zaczniesz łączyć argumenty.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Który zapis jest równy $\log_2 5+\log_2 7$ ?

$\log_2 12$

$\log_2 35$

$\log_4 35$

$\log_2 \frac{5}{7}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$\log_2 35$

Suma logarytmów o tej samej podstawie to logarytm iloczynu argumentów, więc $\log_2 5+\log_2 7=\log_2 35$ .

PYTANIE 02

Który zapis jest równy $\log_3 18-\log_3 2$ ?

$\log_3 16$

$\log_3 20$

$\log_3 9$

$\log_1 9$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$\log_3 9$

Różnica logarytmów to logarytm ilorazu argumentów: $\log_3\frac{18}{2}=\log_3 9$ .

PYTANIE 03

Który zapis jest równy $\log_5 x^3$ , gdy $x>0$ ?

$3\log_5 x$

$\log_5 3x$

$(\log_5 x)^3$

$5\log_3 x$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$3\log_5 x$

Wykładnik argumentu można przenieść przed logarytm: $\log_5 x^3=3\log_5 x$ .

PYTANIE 04

Wyrażenie $\log_4 a+\log_4 b-\log_4 c$ jest równe:

$\log_4(a+b-c)$

$\log_4\frac{ab}{c}$

$\log_4\frac{a}{bc}$

$\log_4(abc)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$\log_4\frac{ab}{c}$

Suma daje iloczyn $ab$ , a odjęcie $\log_4 c$ daje dzielenie przez $c$ , więc otrzymujemy $\log_4\frac{ab}{c}$ .

NA KONIEC

Co zapamiętać z własności logarytmów?

Przy tej samej podstawie suma logarytmów zamienia się w logarytm iloczynu, a różnica logarytmów w logarytm ilorazu. Wykładnik argumentu można przenieść przed logarytm: $\log_a(x^k)=k\log_a x$ . Przed użyciem własności zawsze sprawdź, czy podstawy są takie same i czy argumenty są dodatnie.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Suma logarytmów oznacza logarytm iloczynu

Różnica logarytmów oznacza logarytm ilorazu

Wykładnik można przenieść przed logarytm

Trzy własności obok siebie

Nie łącz logarytmów o różnych podstawach

Przykład mieszany z kilkoma własnościami

Teraz Twoja kolej

Który zapis jest równy log⁡25+log⁡27\log_2 5+\log_2 7log2​5+log2​7?

Który zapis jest równy log⁡318−log⁡32\log_3 18-\log_3 2log3​18−log3​2?

Który zapis jest równy log⁡5x3\log_5 x^3log5​x3, gdy x>0x>0x>0?

Wyrażenie log⁡4a+log⁡4b−log⁡4c\log_4 a+\log_4 b-\log_4 clog4​a+log4​b−log4​c jest równe:

Co zapamiętać z własności logarytmów?

Który zapis jest równy $\log_2 5+\log_2 7$ ?

Który zapis jest równy $\log_3 18-\log_3 2$ ?

Który zapis jest równy $\log_5 x^3$ , gdy $x>0$ ?

Wyrażenie $\log_4 a+\log_4 b-\log_4 c$ jest równe: