Logarytmy w zadaniach praktycznych

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji zobaczysz, po co logarytmy pojawiają się w zadaniach praktycznych. Będą odpowiadały na pytanie: ile razy trzeba zastosować ten sam mnożnik, żeby dojść do podanej wartości?

Plan tej lekcji

Najpierw połączysz logarytm z powtarzanym mnożeniem.

Potem rozwiążesz zadania o podwajaniu i wzroście procentowym.

Na końcu odczytasz sens skali logarytmicznej, gdzie różnica poziomów oznacza iloraz.

Na start

W zadaniach praktycznych logarytm najczęściej liczy liczbę kroków mnożenia.

Po tej lekcji:

Uczeń ma umieć odczytywać i stosować logarytmy w prostych modelach praktycznych opartych na potęgowaniu.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Logarytm liczy liczbę takich samych kroków

Jeśli wielkość za każdym krokiem mnoży się przez tę samą liczbę, to po kilku krokach pojawia się potęga. Logarytm pozwala odwrócić to pytanie: ile kroków było potrzebnych?

Pokazać, że logarytm liczy liczbę podwojeń od $100$ do $800$.

$\text{wartość końcowa}=\text{wartość początkowa}\cdot q^n$

$q$ oznacza stały mnożnik w jednym kroku.

$n$ oznacza liczbę kroków.

Jeśli szukasz $n$ , pojawia się logarytm.

Przykład

Liczba bakterii podwaja się co godzinę. Początkowo jest $100$ bakterii. Po ilu godzinach będzie $800$ bakterii?

Rozwiązanie

Podwajanie oznacza mnożenie przez $2$ w każdej godzinie. Model ma postać $100\cdot 2^n=800$ . Dzielimy obie strony przez $100$ : $2^n=8$ . Rozpoznajemy potęgę: $2^3=8$ . Zatem $n=3$ . Potrzeba $3$ godzin, bo $100\to 200\to 400\to 800$ .

02WYJAŚNIENIE

Zapis logarytmiczny dla liczby kroków

W poprzednim zadaniu można było rozpoznać $2^3=8$ . Ten sam rachunek można zapisać logarytmem: skoro $2^n=8$ , to $n=\log_2 8$ .

$2^n=8$

$\quad \Longleftrightarrow \quad$

$n=\log_2 8=3$

Przykład

Cena przedmiotu co rok podwaja się. Ile lat potrzeba, aby z $50$ zł dojść do $400$ zł?

Rozwiązanie

Podwajanie co rok daje model $50\cdot 2^n=400$ . Dzielimy przez $50$ : $2^n=8$ . Zapisujemy logarytmicznie: $n=\log_2 8$ . Obliczamy $\log_2 8=3$ . Potrzeba $3$ lat, bo wartość musi wzrosnąć $8$ -krotnie, a $8=2^3$ .

Zapamiętaj

Najpierw dzielisz wartość końcową przez początkową.

Dopiero potem pytasz, ile razy trzeba użyć mnożnika.

03WYJAŚNIENIE

Wzrost procentowy jako mnożnik

Wzrost o $20\%$ nie oznacza dodawania $20$ w każdym kroku. Oznacza mnożenie przez $1{,}2$ , bo po wzroście zostaje $100\%+20\%=120\%=1{,}2$ wartości początkowej.

$\text{wzrost o }20\% \quad \Rightarrow \quad q=1{,}2$

Przykład

Kwota $1000$ zł rośnie co rok o $20\%$ . Które równanie opisuje moment, gdy kwota osiągnie $1728$ zł?

Rozwiązanie

Wzrost o $20\%$ oznacza mnożnik $1{,}2$ . Po $n$ latach kwota ma postać $1000\cdot 1{,}2^n$ . Chcemy otrzymać $1728$ , więc zapisujemy $1000\cdot 1{,}2^n=1728$ . Po podzieleniu przez $1000$ dostajemy $1{,}2^n=1{,}728$ . Logarytm pojawiłby się przy szukaniu $n$ , czyli liczby lat.

Wskazówka

Nie zapisuj wzrostu o $20\%$ jako mnożenia przez $20$ . Mnożnik wzrostu to $1{,}2$ , a nie $20$ .

04WYJAŚNIENIE

Skala logarytmiczna: różnica poziomów to iloraz

W skali logarytmicznej kolejne poziomy nie oznaczają dodania tej samej liczby, tylko pomnożenie przez tę samą liczbę. Przy podstawie $10$ wzrost logarytmu o $1$ oznacza $10$ -krotny wzrost wielkości.

Pokazać, że różnica poziomów $6-4=2$ w skali logarytmicznej oznacza iloraz $100$.

$\log_{10} A-\log_{10} B=\log_{10}\frac{A}{B}$

Przykład

Dwie wielkości mają poziomy $\log_{10} A=6$ oraz $\log_{10} B=4$ . Ile razy $A$ jest większe od $B$ ?

Rozwiązanie

Odejmujemy poziomy: $6-4=2$ . Z własności logarytmów: $\log_{10} A-\log_{10} B=\log_{10}\frac{A}{B}$ . Mamy więc $\log_{10}\frac{A}{B}=2$ . Zamieniamy na potęgę: $\frac{A}{B}=10^2=100$ . Wielkość $A$ jest $100$ razy większa od $B$ , bo różnica dwóch poziomów w skali dziesiętnej oznacza czynnik $10^2$ .

05WYJAŚNIENIE

Praktyczne zadanie z dziesięciokrotną zmianą

Jeśli coś rośnie $10$ -krotnie w każdym kroku, liczba kroków jest logarytmem przy podstawie $10$ .

$n=\log_{10}\frac{300000}{300}=\log_{10}1000=3$

Przykład

Liczba obserwacji wzrosła ze $300$ do $300000$ . Ile razy trzeba pomnożyć przez $10$ , żeby uzyskać taki wzrost?

Rozwiązanie

Najpierw liczymy iloraz wartości końcowej i początkowej: $\frac{300000}{300}=1000$ . Szukamy liczby kroków $n$ , dla której $10^n=1000$ . Rozpoznajemy $1000=10^3$ . Zatem $n=3$ . Wzrost z $300$ do $300000$ to trzy kolejne mnożenia przez $10$ : $300\to3000\to30000\to300000$ .

Wskazówka

Delta radzi: w zadaniu praktycznym najpierw policz, ile razy coś wzrosło albo zmalało. Logarytm działa na ilorazie, nie na samej wartości końcowej.

06WYJAŚNIENIE

Kiedy wynik nie jest liczbą całkowitą

Nie zawsze liczba kroków wychodzi całkowita. Na maturze podstawowej często wystarczy rozpoznać przedział, w którym leży wynik.

Pokazać, że jeśli argument leży między dwiema potęgami podstawy, to logarytm leży między ich wykładnikami.

Jeśli zmiana następuje tylko po pełnych okresach i pytamy o osiągnięcie co najmniej dziesięciokrotności, potrzebne są cztery okresy: po trzech mamy mnożnik $8$ , a dopiero po czterech $16$ . Nie zaokrąglamy wtedy do najbliższej liczby całkowitej.

$2^3=8,\quad 2^4=16$

$\quad \Rightarrow \quad$

W zadaniach praktycznych logarytm najczęściej odpowiada na pytanie, ile razy trzeba powtórzyć mnożenie przez ten sam czynnik. Najpierw policz iloraz wartości końcowej i początkowej, a potem rozwiąż równanie typu $q^n=\text{iloraz}$ . Przy wzroście procentowym zamień procent na mnożnik, na przykład wzrost o $20\%$ to $1{,}2$ . W skali logarytmicznej różnica poziomów oznacza iloraz wielkości, a nie zwykłą różnicę.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Logarytm liczy liczbę takich samych kroków

Zapis logarytmiczny dla liczby kroków

Wzrost procentowy jako mnożnik

Skala logarytmiczna: różnica poziomów to iloraz

Praktyczne zadanie z dziesięciokrotną zmianą

Kiedy wynik nie jest liczbą całkowitą

Teraz Twoja kolej

Pewna wielkość podwaja się co godzinę. Ile godzin potrzeba, aby wzrosła z 505050 do 400400400?

Liczba wzrosła 100010001000-krotnie. Ile razy zastosowano mnożenie przez 101010?

Wzrost o 30%30\%30% odpowiada mnożeniu przez:

Między jakimi kolejnymi liczbami całkowitymi leży log⁡320\log_3 20log3​20?

Jeśli log⁡10A=5\log_{10} A=5log10​A=5 i log⁡10B=2\log_{10} B=2log10​B=2, to ile razy AAA jest większe od BBB?

Co zapamiętać z zadań praktycznych?

Pewna wielkość podwaja się co godzinę. Ile godzin potrzeba, aby wzrosła z $50$ do $400$ ?

Liczba wzrosła $1000$ -krotnie. Ile razy zastosowano mnożenie przez $10$ ?

Wzrost o $30\%$ odpowiada mnożeniu przez:

Między jakimi kolejnymi liczbami całkowitymi leży $\log_3 20$ ?

Jeśli $\log_{10} A=5$ i $\log_{10} B=2$ , to ile razy $A$ jest większe od $B$ ?