Obliczanie prostych logarytmów

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się liczyć proste logarytmy bez zgadywania. Każdy przykład sprowadzisz do pytania: „jaka potęga podstawy daje argument?”.

Plan tej lekcji

Najpierw będziesz zamieniać logarytm na równanie potęgowe.

Potem użyjesz znanych potęg liczb $2$ , $3$ , $5$ i $10$ .

Na końcu policzysz logarytmy z $1$ , ułamków i liczb zapisanych jako potęgi.

Na start

Najszybsza metoda: dopisz niewiadomy wykładnik i rozpoznaj potęgę.

Po tej lekcji:

Uczeń ma umieć obliczać logarytmy, których argumenty są prostymi potęgami podstawy.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Schemat: zamień logarytm na potęgę

Przy prostym logarytmie nie zaczynaj od wzoru w pamięci. Zacznij od pustego miejsca na wykładnik.

$\log_a b=x \quad \Longleftrightarrow \quad a^x=b$

Przepisz podstawę logarytmu jako podstawę potęgi.

Wynik logarytmu oznacz literą $x$ .

Argument logarytmu wpisz po prawej stronie równania.

Rozpoznaj, jaki wykładnik daje ten argument.

Przykład

Oblicz $\log_4 64$ .

Rozwiązanie

Zapisujemy pytanie w postaci potęgi: $4^x=64$ . Sprawdzamy potęgi liczby $4$ : $4^1=4$ , $4^2=16$ , $4^3=64$ . Pasuje wykładnik $3$ , więc $x=3$ . Dlatego $\log_4 64=3$ . Logarytm z $64$ przy podstawie $4$ jest równy $3$ , bo trzy czynniki $4$ dają $64$ .

02WYJAŚNIENIE

Tabela potęg porządkuje rachunek

W zadaniach maturalnych argument logarytmu często jest jedną ze znanych potęg. Krótka tabela potęg pomaga zobaczyć wynik bez długiego liczenia.

Pokazać, że obliczanie prostych logarytmów polega na znalezieniu argumentu w rzędzie potęg danej podstawy.

$3^1=3,\quad 3^2=9,\quad 3^3=27,\quad 3^4=81$

$2^1=2,\quad 2^2=4,\quad 2^3=8,\quad 2^4=16,\quad 2^5=32$

Przykład

Oblicz $\log_3 81$ .

Rozwiązanie

Zamieniamy logarytm na równanie: $3^x=81$ . Z tabeli potęg: $3^4=81$ . Zatem $x=4$ . Odpowiedź: $\log_3 81=4$ . Nie liczymy „logarytmu na piechotę”. Rozpoznajemy, że $81$ jest czwartą potęgą liczby $3$ .

03WYJAŚNIENIE

Logarytm z $1$ zawsze daje $0$

Każda dodatnia podstawa różna od $1$ podniesiona do potęgi zerowej daje $1$ . Dlatego logarytm z $1$ jest równy $0$ , niezależnie od poprawnej podstawy.

$a^0=1$

$\log_a 1=0 \quad \text{dla} \quad a>0,\ a\neq 1$

Przykład

Oblicz $\log_7 1$ .

Rozwiązanie

Zamieniamy zapis na równanie: $7^x=1$ . Wiemy, że $7^0=1$ . Zatem $x=0$ . Odpowiedź: $\log_7 1=0$ . Wynik $0$ nie zależy od tego, że podstawa wynosi $7$ . Każda poprawna podstawa do potęgi $0$ daje $1$ .

Wskazówka

Nie myl $\log_a 1=0$ z $\log_a a=1$ . Argument $1$ daje wynik $0$ , a argument równy podstawie daje wynik $1$ .

04WYJAŚNIENIE

Logarytm z podstawy daje $1$

Jeśli argument logarytmu jest taki sam jak podstawa, wynik wynosi $1$ . Jedna kopia podstawy daje tę samą liczbę.

$a^1=a$

$\log_a a=1$

Przykład

Oblicz $\log_{13} 13$ .

Rozwiązanie

Zamieniamy zapis na pytanie: $13^x=13$ . Jedna potęga liczby $13$ to $13^1=13$ . Zatem $x=1$ . Odpowiedź: $\log_{13} 13=1$ . Wynik $1$ mówi, że wystarczy podnieść podstawę do pierwszej potęgi.

Zapamiętaj

$\log_a 1=0$ .

$\log_a a=1$ .

05WYJAŚNIENIE

Ujemny wynik przy podstawie większej od jedności

Jeśli argument logarytmu jest odwrotnością potęgi podstawy, wynik będzie ujemny. To działa tak samo jak przy potęgach z wykładnikiem ujemnym.

Pokazać związek między dodatnimi i ujemnymi wykładnikami dla tej samej podstawy.

W tym przykładzie podstawa jest większa od $1$ . Dla podstawy między $0$ a $1$ znak może być inny: $\log_{\frac12}\frac14=2$ , bo $\left(\frac12\right)^2=\frac14$ .

$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$

$\log_3 \frac{1}{9}=-2$

Przykład

Oblicz $\log_3 \frac{1}{27}$ .

Rozwiązanie

Zamieniamy logarytm na równanie: $3^x=\frac{1}{27}$ . Wiemy, że $27=3^3$ . Odwrotność $27$ to $\frac{1}{27}=3^{-3}$ . Zatem $x=-3$ , czyli $\log_3 \frac{1}{27}=-3$ . Argument jest dodatni, ale mniejszy od $1$ , więc wynik logarytmu jest ujemny.

06WYJAŚNIENIE

Potęgi dziesiątki w logarytmach

Przy podstawie $10$ najczęściej rozpoznajesz liczbę zer. Liczba $1000$ to $10^3$ , a liczba $\frac{1}{100}$ to $10^{-2}$ .

$10^3=1000$

$10^{-2}=\frac{1}{100}$

Przykład

Oblicz $\log_{10} 0{,}001$ .

Rozwiązanie

Zapisujemy $0{,}001$ jako ułamek: $0{,}001=\frac{1}{1000}$ . Wiemy, że $1000=10^3$ . Zatem $\frac{1}{1000}=10^{-3}$ . Dlatego $\log_{10} 0{,}001=-3$ . Trzy miejsca po przecinku odpowiadają wykładnikowi $-3$ przy podstawie $10$ .

Wskazówka

Delta radzi: przy podstawie $10$ najpierw zamień liczbę na potęgę dziesiątki. Dopiero potem odczytaj wykładnik.

07WYJAŚNIENIE

Gdy argument jest zapisany jako potęga

Czasem zadanie samo podaje argument w postaci potęgi. Wtedy nie trzeba rozwijać liczby. Wystarczy rozpoznać, że podstawa logarytmu i podstawa potęgi są takie same.

$\log_2 2^7=7$

Przykład

Oblicz $\log_5 5^4$ .

Rozwiązanie

Zamieniamy zapis na równanie: $5^x=5^4$ . Po obu stronach mamy potęgi tej samej dodatniej podstawy $5$ . Aby potęgi były równe, wykładniki muszą być równe. Zatem $x=4$ , czyli $\log_5 5^4=4$ . Logarytm „odczytuje” wykładnik z potęgi o tej samej podstawie.

Zapamiętaj

$\log_a a^k=k$ , gdy $a>0$ i $a\neq 1$ .

To działa także dla wykładników ujemnych.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Ile wynosi $\log_2 32$ ?

$4$

$5$

$16$

$30$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$5$

Szukamy $x$ , dla którego $2^x=32$ . Ponieważ $2^5=32$ , logarytm jest równy $5$ .

PYTANIE 02

Ile wynosi $\log_9 1$ ?

$0$

$1$

$9$

$-1$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$0$

Dla każdej poprawnej podstawy $a$ zachodzi $a^0=1$ , więc $\log_9 1=0$ .

PYTANIE 03

Ile wynosi $\log_4 \frac{1}{16}$ ?

$-4$

$-2$

$2$

$16$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$-2$

$\frac{1}{16}=\frac{1}{4^2}=4^{-2}$ , więc $\log_4 \frac{1}{16}=-2$ .

PYTANIE 04

Ile wynosi $\log_{10} 100000$ ?

$4$

$5$

$10$

$10000$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$5$

$100000=10^5$ , więc $\log_{10}100000=5$ .

PYTANIE 05

Ile wynosi $\log_6 6^8$ ?

$6$

$8$

$48$

$14$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$8$

Logarytm przy podstawie $6$ odczytuje wykładnik z potęgi $6^8$ , więc wynik to $8$ .

NA KONIEC

Co zapamiętać z obliczania prostych logarytmów?

Aby obliczyć prosty logarytm, zapisz $\log_a b=x$ , a potem przejdź do równania $a^x=b$ . Jeśli argument jest potęgą podstawy, wynikiem logarytmu jest wykładnik. Szczególnie często używaj faktów: $\log_a 1=0$ , $\log_a a=1$ , $\log_a a^k=k$ . Przy ułamkach pamiętaj o ujemnych wykładnikach.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Schemat: zamień logarytm na potęgę

Tabela potęg porządkuje rachunek

Logarytm z 111 zawsze daje 000

Logarytm z podstawy daje 111

Ujemny wynik przy podstawie większej od jedności

Potęgi dziesiątki w logarytmach

Gdy argument jest zapisany jako potęga

Teraz Twoja kolej

Ile wynosi log⁡232\log_2 32log2​32?

Ile wynosi log⁡91\log_9 1log9​1?

Ile wynosi log⁡4116\log_4 \frac{1}{16}log4​161​?

Ile wynosi log⁡10100000\log_{10} 100000log10​100000?

Ile wynosi log⁡668\log_6 6^8log6​68?

Co zapamiętać z obliczania prostych logarytmów?

Logarytm z $1$ zawsze daje $0$

Logarytm z podstawy daje $1$

Ile wynosi $\log_2 32$ ?

Ile wynosi $\log_9 1$ ?

Ile wynosi $\log_4 \frac{1}{16}$ ?

Ile wynosi $\log_{10} 100000$ ?

Ile wynosi $\log_6 6^8$ ?