Definicja logarytmu i związek z potęgowaniem

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się czytać logarytm jako pytanie o wykładnik. Zamiast zapamiętywać sam symbol, będziesz zamieniać go na potęgowanie, bo to najprostsza droga do większości zadań.

Plan tej lekcji

Najpierw przypomnisz sobie, co oznacza potęga.

Potem zobaczysz, że logarytm pyta: „do której potęgi podnieść podstawę?”.

Na końcu przećwiczysz zamianę zapisu logarytmicznego na potęgowy i odwrotnie.

Na start

Logarytm nie jest nowym rodzajem działania oderwanym od potęg.

Logarytm odpowiada na pytanie o wykładnik.

Po tej lekcji:

Uczeń ma umieć zamieniać zapis logarytmiczny na potęgowy i rozumieć, o co pyta logarytm.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Logarytm zaczyna się od pytania o potęgę

Jeśli wiesz, że $2^3=8$ , to znasz trzy liczby: podstawę $2$ , wykładnik $3$ i wynik $8$ . Logarytm pojawia się wtedy, gdy znamy podstawę i wynik, ale szukamy wykładnika.

Pokazać, że w potędze występują podstawa, wykładnik i wynik.

$2^3=8$

Przykład

Jaką liczbą trzeba zastąpić znak zapytania: $2^?=8$ ?

Rozwiązanie

Sprawdzamy kolejne potęgi liczby $2$ : $2^1=2$ , $2^2=4$ , $2^3=8$ . Wynik $8$ otrzymujemy przy wykładniku $3$ . Dlatego $?=3$ . Pytanie $2^?=8$ ma odpowiedź $3$ . Logarytm zapisuje dokładnie takie pytanie krócej.

02WYJAŚNIENIE

Co oznacza $\log_2 8$ ?

Zapis $\log_2 8$ czytamy: „logarytm z $8$ przy podstawie $2$ ”. Matematycznie pyta on: do której potęgi trzeba podnieść $2$ , żeby dostać $8$ ?

$\log_2 8=3 \quad \text{bo} \quad 2^3=8$

Przykład

Oblicz $\log_2 8$

Rozwiązanie

Zamieniamy logarytm na pytanie o potęgę: $2^?=8$ . Wiemy, że $2^3=8$ . Odpowiedzią jest wykładnik, więc $\log_2 8=3$ . Wynik logarytmu to nie $8$ , tylko wykładnik $3$ .

Pułapka

$\log_2 8$ oznacza: „jaki wykładnik przy podstawie $2$ daje $8$ ?”.

Odpowiedzią logarytmu jest wykładnik.

Wskazówka

Nie zapisuj $\log_2 8=8$ . Liczba $8$ jest argumentem logarytmu, a wynikiem jest szukany wykładnik.

03WYJAŚNIENIE

Definicja logarytmu bez przeskoku

Definicja logarytmu to krótki zapis zamiany na potęgę. Litera $a$ oznacza podstawę logarytmu, $b$ oznacza argument logarytmu, a $c$ oznacza wynik, czyli wykładnik.

Pokazać, jak elementy zapisu $\log_a b=c$ przechodzą do zapisu $a^c=b$.

$\log_a b=c \quad \Longleftrightarrow \quad a^c=b$

$a$ to podstawa logarytmu.

$b$ to argument logarytmu.

$c$ to wynik logarytmu, czyli wykładnik.

Warunki: $a>0$ , $a\neq 1$ , $b>0$ .

Przykład

Zamień zapis $\log_3 81=4$ na zapis potęgowy.

Rozwiązanie

Podstawa logarytmu to $3$ . Wynik logarytmu to $4$ , więc będzie wykładnikiem. Argument logarytmu to $81$ , więc będzie wynikiem potęgowania. Otrzymujemy $3^4=81$ . Zapis logarytmiczny i zapis potęgowy mówią to samo, tylko z innej strony.

04WYJAŚNIENIE

Dlaczego podstawa ma warunki?

Logarytm ma zwracać dokładnie jeden wykładnik. Dodatnia podstawa różna od $1$ pozwala otrzymać każdą dodatnią wartość dokładnie raz. Dla podstawy $1$ wszystkie potęgi są równe $1$ , a dla ujemnej podstawy nie wszystkie wykładniki rzeczywiste mają sens, np. $(-2)^{\frac12}$ .

$\log_a b \quad \text{ma sens, gdy} \quad a>0,\ a\neq 1,\ b>0$

Podstawa $a$ nie może być równa $1$ , bo $1^x=1$ dla każdego $x$ , więc nie da się jednoznacznie odczytać wykładnika.

Podstawa $a$ musi być dodatnia, bo logarytmy w szkole omawiamy dla dodatnich podstaw.

Argument $b$ musi być dodatni, bo potęgi dodatniej podstawy dają dodatnie wyniki.

Przykład

Czy zapis $\log_1 5$ jest poprawny?

Rozwiązanie

Sprawdzamy podstawę logarytmu. Podstawa wynosi $1$ . Warunek mówi, że podstawa musi spełniać $a\neq 1$ . Zapis $\log_1 5$ nie jest poprawny. Przy podstawie $1$ nie da się sensownie pytać, do której potęgi podnieść $1$ , aby dostać $5$ , bo $1^x$ zawsze daje $1$ .

Wskazówka

Nie licz logarytmu, zanim sprawdzisz, czy zapis w ogóle ma sens. $\log_2(-8)$ nie jest poprawnym logarytmem w tym zakresie materiału, mimo że liczba $-8$ wygląda jak „zwykły argument”.

05WYJAŚNIENIE

Ten sam fakt można zapisać na dwa sposoby

Logarytm i potęga są dwoma zapisami tej samej informacji. Jeśli w zadaniu pojawia się logarytm, często najwygodniej od razu przepisać go na potęgę.

$\log_5 125=3 \quad \Longleftrightarrow \quad 5^3=125$

Przykład

Zapisz zdanie $4^2=16$ w postaci logarytmu.

Rozwiązanie

Podstawa potęgi to $4$ , więc będzie podstawą logarytmu. Wynik potęgowania to $16$ , więc będzie argumentem logarytmu. Wykładnik to $2$ , więc będzie wynikiem logarytmu. Otrzymujemy $\log_4 16=2$ . Gdy znamy potęgę $4^2=16$ , logarytm mówi: wykładnik potrzebny do otrzymania $16$ z podstawy $4$ to $2$ .

Wskazówka

Delta radzi: przy zamianie nie przesuwaj liczb „na pamięć”. Zadaj sobie zdanie: „podstawa do potęgi wynik logarytmu daje argument”.

06WYJAŚNIENIE

Gdy wynik logarytmu jest ujemny

Logarytm może mieć wynik ujemny. Dzieje się tak wtedy, gdy argument jest ułamkiem, który powstaje z ujemnego wykładnika.

$2^{-3}=\frac{1}{8}$

$\log_2 \frac{1}{8}=-3$

Przykład

Oblicz $\log_2 \frac{1}{8}$ .

Rozwiązanie

Zamieniamy logarytm na pytanie o potęgę: $2^?=\frac{1}{8}$ . Wiemy, że $2^3=8$ . Odwrotność liczby $8$ dostajemy przez wykładnik ujemny: $2^{-3}=\frac{1}{8}$ . Dlatego $\log_2 \frac{1}{8}=-3$ . Wynik $-3$ oznacza, że trzeba użyć ujemnego wykładnika, aby z podstawy $2$ otrzymać $\frac{1}{8}$ .

Zapamiętaj

Dodatni argument logarytmu może być mniejszy od $1$ .

Wtedy wynik logarytmu często jest ujemny.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Ile wynosi $\log_3 27$ ?

$2$

$3$

$9$

$24$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$3$

Szukamy wykładnika w równaniu $3^?=27$ . Ponieważ $3^3=27$ , mamy $\log_3 27=3$ .

PYTANIE 02

Który zapis jest równoważny zdaniu $\log_4 64=3$ ?

$4^3=64$

$3^4=64$

$64^4=3$

$4^{64}=3$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$4^3=64$

Wynik logarytmu przechodzi na wykładnik, więc $\log_4 64=3$ oznacza $4^3=64$ .

PYTANIE 03

Który logarytm nie ma sensu w zakresie szkolnych logarytmów?

$\log_2 8$

$\log_5 1$

$\log_1 7$

$\log_{10} 100$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$\log_1 7$

Podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od $1$ . W zapisie $\log_1 7$ podstawa jest równa $1$ .

PYTANIE 04

Ile wynosi $\log_5 \frac{1}{25}$ ?

$-2$

$-1$

$2$

$25$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$-2$

Szukamy wykładnika w równaniu $5^?=\frac{1}{25}$ . Ponieważ $5^{-2}=\frac{1}{25}$ , poprawna odpowiedź to $-2$ .

NA KONIEC

Co zapamiętać z definicji logarytmu?

Logarytm pyta o wykładnik. Zapis $\log_a b=c$ oznacza dokładnie to samo co $a^c=b$ . Podstawa logarytmu musi spełniać $a>0$ oraz $a\neq 1$ , a argument musi spełniać $b>0$ . W zadaniach najpierw zamieniaj logarytm na pytanie o potęgę, bo wtedy większość rachunku robi się zwykłym potęgowaniem.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Logarytm zaczyna się od pytania o potęgę

Co oznacza log⁡28\log_2 8log2​8?

Definicja logarytmu bez przeskoku

Dlaczego podstawa ma warunki?

Ten sam fakt można zapisać na dwa sposoby

Gdy wynik logarytmu jest ujemny

Teraz Twoja kolej

Ile wynosi log⁡327\log_3 27log3​27?

Który zapis jest równoważny zdaniu log⁡464=3\log_4 64=3log4​64=3?

Który logarytm nie ma sensu w zakresie szkolnych logarytmów?

Ile wynosi log⁡5125\log_5 \frac{1}{25}log5​251​?

Co zapamiętać z definicji logarytmu?

Co oznacza $\log_2 8$ ?

Ile wynosi $\log_3 27$ ?

Który zapis jest równoważny zdaniu $\log_4 64=3$ ?

Ile wynosi $\log_5 \frac{1}{25}$ ?