Rozwinięcia dziesiętne i zamiana ułamków

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nie każda liczba z przecinkiem zachowuje się tak samo. Jedne rozwinięcia się kończą, inne powtarzają okres, a jeszcze inne trwają bez końca i bez okresu.

Plan tej lekcji

Odróżnisz rozwinięcie skończone od okresowego.

Zobaczysz, które rozwinięcia oznaczają liczby wymierne.

Nauczysz się zapisywać proste rozwinięcia okresowe jako ułamki.

Na start

Liczba wymierna ma rozwinięcie skończone albo okresowe.

Liczba niewymierna ma rozwinięcie nieskończone nieokresowe.

Po tej lekcji:

rozpoznasz rozwinięcia skończone, okresowe i nieokresowe
połączysz rozwinięcia z liczbami wymiernymi i niewymiernymi
zamienisz proste rozwinięcia okresowe na ułamki

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Rozwinięcie skończone

Rozwinięcie skończone po pewnej liczbie cyfr po przecinku się kończy. Taką liczbę łatwo zapisać jako ułamek o mianowniku dziesiętnym.

PRZYKŁAD

Zamień $2{,}4$ na ułamek zwykły.

Rozwiązanie

$2{,}4=\frac{24}{10}=\frac{12}{5}$ . Każde rozwinięcie skończone jest liczbą wymierną.

Zapamiętaj

$0{,}75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}$

Jedna cyfra po przecinku daje mianownik $10$ , dwie cyfry mianownik $100$ .

Każde rozwinięcie skończone można zapisać jako ułamek zwykły.

02WYJAŚNIENIE

Rozwinięcie okresowe

Rozwinięcie okresowe trwa bez końca, ale pewien fragment cyfr powtarza się regularnie. Ten powtarzający się fragment nazywamy okresem.

$0{,}3333\ldots=0{,}(3)\qquad 0{,}727272\ldots=0{,}(72)\qquad 1{,}1666\ldots=1{,}1(6)$

Trzy rozwinięcia dziesiętne z zaznaczonym okresem.

Zapamiętaj

Rozwinięcie okresowe jest nieskończone.

Mimo że się nie kończy, jest liczbą wymierną.

03WYJAŚNIENIE

Rozwinięcie nieskończone nieokresowe

Rozwinięcie nieskończone nieokresowe trwa bez końca i nie ma stałego powtarzającego się bloku. Takie rozwinięcia mają liczby niewymierne.

$\sqrt{2}=1{,}4142135\ldots\qquad \pi=3{,}1415926\ldots$

Cyfry się nie kończą.

Nie pojawia się stały okres.

Liczby z takim rozwinięciem nie dają się zapisać jako $\frac{a}{b}$ .

Wskazówka

Pułapka: wiele cyfr po przecinku nie oznacza jeszcze niewymierności. $0{,}333333\ldots$ jest okresowe, więc wymierne.

04WYJAŚNIENIE

Wymierna czy niewymierna?

Jeśli liczba da się zapisać jako ułamek zwykły, jest wymierna. Jeśli jej rozwinięcie jest nieskończone nieokresowe, jest niewymierna.

PRZYKŁAD

Określ, które liczby są wymierne: $0{,}125,\ 0{,}(7),\ \sqrt{11},\ \sqrt{16}$ .

Rozwiązanie

$0{,}125$ jest skończone, więc wymierne. $0{,}(7)$ jest okresowe, więc wymierne. $\sqrt{11}$ jest niewymierne, a $\sqrt{16}=4$ jest wymierne.

Zapamiętaj

Skończone dziesiętne: wymierne.

Okresowe dziesiętne: wymierne.

Nieskończone nieokresowe: niewymierne.

Pierwiastek też trzeba najpierw uprościć, jeśli da się obliczyć go dokładnie.

05WYJAŚNIENIE

Zamiana prostych okresów na ułamki

Proste rozwinięcia okresowe można zamienić na ułamek przez oznaczenie liczby jako niewiadomej, przesunięcie przecinka i odjęcie równań.

Dla $0{,}(3)$ zapisujemy $x=0{,}333\ldots$ , potem $10x=3{,}333\ldots$ i odejmujemy.

Dla jednej powtarzającej się cyfry działa skrót $0{,}(a)=\frac{a}{9}$ .

Przy zapisie $0{,}1(6)$ cyfra $1$ nie należy do okresu.

PRZYKŁAD

Zamień $0{,}(3),\ 0{,}(6),\ 0{,}1(6)$ na ułamki zwykłe.

Rozwiązanie

$0{,}(3)=\frac{1}{3}$

$0{,}(6)=\frac{2}{3}$

$0{,}1(6)=\frac{1}{6}$

Wskazówka

Pułapka: $0{,}1(6)$ to nie to samo co $0{,}(16)$ .

Te zapisy okresowe są dokładnie równe ułamkom, a nie tylko do nich przybliżone.

06WYJAŚNIENIE

Zamiana 0,(3) na ułamek

Liczbę okresową można zamienić na ułamek przez oznaczenie jej jako $x$ , przesunięcie przecinka i odjęcie równań. Litera $x$ oznacza całą szukaną liczbę. Po pomnożeniu przez $10$ obie liczby mają identyczną część po przecinku. Odejmujemy te same części, więc zostaje $3$ , a po lewej $10x-x=9x$ . Dzielenie przez $9$ daje wartość jednej liczby $x$ .

PRZYKŁAD

Zamień $0{,}(3)$ na ułamek zwykły.

Rozwiązanie

$x=0{,}3333\ldots$

$10x=3{,}3333\ldots$

$10x-x=3$

$9x=3$

$x=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

$0{,}(3)=\frac{1}{3}$ dokładnie, nie tylko w przybliżeniu.

07WYJAŚNIENIE

Zamiana 0,(6) na ułamek

Dla jednego powtarzającego się znaku działa ten sam schemat. Różni się tylko cyfra, która się powtarza.

PRZYKŁAD

Zamień $0{,}(6)$ na ułamek zwykły.

Rozwiązanie

$x=0{,}6666\ldots$

$10x=6{,}6666\ldots$

$10x-x=6$

$9x=6$

$x=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

Wskazówka

Dla jednej cyfry okresu można zapamiętać skrót $0{,}(a)=\frac{a}{9}$ .

$0{,}(6)=\frac{2}{3}$ dokładnie.

08WYJAŚNIENIE

Zamiana 0,1(6) na ułamek

W liczbie $0{,}1(6)$ jedna cyfra po przecinku nie należy do okresu. Trzeba wyrównać części okresowe przed odjęciem. Mnożenie przez $10$ przesuwa nieokresową cyfrę przed przecinek. Kolejne mnożenie przez $10$ przesuwa jeden pełny okres. Dlatego w $100x$ i $10x$ końcówki po przecinku są już takie same i znikają przy odejmowaniu.

PRZYKŁAD

Zamień $0{,}1(6)$ na ułamek zwykły.

Rozwiązanie

$x=0{,}1666\ldots$

$10x=1{,}6666\ldots$

$100x=16{,}6666\ldots$

$100x-10x=15$

$90x=15$

$x=\frac{15}{90}=\frac{1}{6}$

Wskazówka

$0{,}1(6)$ to nie to samo co $0{,}(16)$ .

$0{,}1(6)=\frac{1}{6}$ .

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Która liczba ma rozwinięcie dziesiętne skończone?

$0{,}(4)$

$\frac{3}{8}$

$\sqrt{2}$

$\pi$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$\frac{3}{8}$

PYTANIE 02

Liczba $0{,}(8)$ jest równa:

$\frac{8}{10}$

$\frac{8}{9}$

$\frac{1}{8}$

$\frac{9}{8}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$\frac{8}{9}$

PYTANIE 03

Liczba $0{,}2(5)$ oznacza:

$0{,}25555\ldots$

$0{,}252525\ldots$

$0{,}22225\ldots$

$0{,}55552\ldots$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$0{,}25555\ldots$

PYTANIE 04

Która liczba jest niewymierna?

$0{,}125$

$0{,}(12)$

$\sqrt{49}$

$\sqrt{7}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D

$\sqrt{7}$

NA KONIEC

Podsumowanie: rozwinięcia dziesiętne

Rozwinięcie skończone kończy się po pewnej liczbie cyfr i oznacza liczbę wymierną. Rozwinięcie okresowe nie kończy się, ale ma powtarzający się blok cyfr, więc też jest wymierne. Rozwinięcie nieskończone nieokresowe oznacza liczbę niewymierną.

Zapamiętaj

$0{,}(3)=\frac{1}{3}$

$0{,}(6)=\frac{2}{3}$

$0{,}1(6)=\frac{1}{6}$

$\sqrt{2}$ i $\pi$ są niewymierne.

Umiesz już rozpoznać, co mówi zapis dziesiętny liczby.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Rozwinięcie skończone

Rozwinięcie okresowe

Rozwinięcie nieskończone nieokresowe

Wymierna czy niewymierna?

Zamiana prostych okresów na ułamki

Zamiana 0,(3) na ułamek

Zamiana 0,(6) na ułamek

Zamiana 0,1(6) na ułamek

Teraz Twoja kolej

Która liczba ma rozwinięcie dziesiętne skończone?

Liczba 0,(8)0{,}(8)0,(8) jest równa:

Liczba 0,2(5)0{,}2(5)0,2(5) oznacza:

Która liczba jest niewymierna?

Podsumowanie: rozwinięcia dziesiętne

Liczba $0{,}(8)$ jest równa:

Liczba $0{,}2(5)$ oznacza: