Zaokrąglanie i szacowanie wyników

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Na maturze czasem trzeba podać wynik z dokładnością, a czasem szybko odrzucić odpowiedzi, które nie mają sensu. W tej lekcji połączysz zaokrąglanie z rozsądnym szacowaniem.

Plan tej lekcji

Nauczysz się zaokrąglać do jedności, dziesiątek, setnych i innych rzędów.

Przećwiczysz regułę cyfr od zera do czterech oraz od pięciu do dziewięciu.

Zobaczysz, kiedy nie zaokrąglać za wcześnie.

Nauczysz się szacować wynik przed dokładnym obliczeniem.

Na start

Zaokrąglanie upraszcza liczbę, ale zwykle traci część dokładności.

Po tej lekcji:

zaokrąglisz liczbę do wskazanego rzędu
odróżnisz dokładny rachunek od szacowania
sprawdzisz, czy wynik ma sens

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Co znaczy zaokrąglić liczbę?

Zaokrąglenie polega na zastąpieniu liczby inną liczbą, która jest blisko niej, ale ma prostszy zapis. Na przykład liczba $7{,}96$ leży bliżej $8$ niż $7$ .

$7{,}96\approx8$

Zapamiętaj

$\approx$ oznacza „w przybliżeniu równe”.

Zaokrąglenie zwykle nie jest równością dokładną.

02WYJAŚNIENIE

Reguła zaokrąglania

Żeby zaokrąglić liczbę, patrzysz na cyfrę stojącą tuż za miejscem, do którego zaokrąglasz. Ta jedna cyfra decyduje, czy zostawiasz wybrany rząd bez zmian, czy zwiększasz go o jeden.

Wybierz miejsce, do którego zaokrąglasz.

Sprawdź cyfrę bezpośrednio po prawej stronie.

$0,1,2,3,4$ : zaokrąglasz w dół.

$5,6,7,8,9$ : zaokrąglasz w górę.

PRZYKŁAD

Zaokrąglij $12{,}348$ do części setnych.

Rozwiązanie

Części setne to druga cyfra po przecinku. W liczbie $12{,}348$ jest to $4$ . Następna cyfra to $8$ , więc zaokrąglamy w górę: $12{,}348\approx12{,}35$ .

Cyfra setnych wzrosła z $4$ do $5$ , bo następna cyfra to $8$ .

03WYJAŚNIENIE

Do dziesiątek, setek i części dziesiętnych

Przy zaokrąglaniu zawsze patrzysz na cyfrę po prawej stronie od wybranego rzędu. Do dziesiątek patrzysz na jedności, do setek na dziesiątki, do części dziesiętnych na setne.

PRZYKŁAD

Zaokrąglij $468$ do dziesiątek i setek oraz $5{,}276$ do części dziesiętnych i setnych.

Rozwiązanie

$468\approx470$ do dziesiątek i $468\approx500$ do setek. Ponadto $5{,}276\approx5{,}3$ do części dziesiętnych i $5{,}276\approx5{,}28$ do setnych.

Wskazówka

Nie zaokrąglaj do setek przez kilka kolejnych przybliżeń. Patrz bezpośrednio na cyfrę dziesiątek.

Ta sama liczba może mieć różne przybliżenia zależnie od wskazanego rzędu.

04WYJAŚNIENIE

Nie zaokrąglaj za wcześnie

Jeżeli zadanie wymaga dokładnego wyniku albo odpowiedzi z konkretną dokładnością, licz dokładnie jak najdłużej i zaokrąglij dopiero końcowy wynik. Wczesne zaokrąglenia mogą przesunąć odpowiedź.

PRZYKŁAD

Oblicz w przybliżeniu do setnych wartość $\frac{10}{3}+\frac{10}{3}$ .

Rozwiązanie

$\frac{10}{3}+\frac{10}{3}=\frac{20}{3}=6{,}6666\ldots\approx6{,}67$ . Gdyby zaokrąglić każdy składnik wcześniej do $3{,}33$ , dostałbyś $6{,}66$ , czyli inny wynik.

Zapamiętaj

W obliczeniach dokładnych zaokrąglaj na końcu.

W szacowaniu możesz zaokrąglać wcześniej, ale wynik jest orientacyjny.

Zaokrąglenie składników przed obliczeniem może dać inną odpowiedź niż zaokrąglenie wyniku końcowego.

05WYJAŚNIENIE

Szacowanie wyniku

Szacowanie polega na szybkim określeniu, jakiego rzędu powinien być wynik. Pomaga wykryć błąd rachunkowy albo wybrać odpowiedź, gdy możliwości są daleko od siebie.

PRZYKŁAD

Oszacuj $49{,}8\cdot2{,}03$ oraz wartość najbliższą $19{,}7\cdot5{,}1$ .

Rozwiązanie

$49{,}8\cdot2{,}03\approx50\cdot2=100$

$19{,}7\cdot5{,}1\approx20\cdot5=100$

Wskazówka

Szacowanie nie zastępuje dokładnego wyniku, jeśli odpowiedzi są bardzo blisko siebie. Wtedy trzeba policzyć dokładniej.

Dokładny wynik powinien być blisko $100$ . Odpowiedź typu $10$ albo $1000$ byłaby podejrzana.

06WYJAŚNIENIE

Zaokrąglanie do części dziesiętnych i setnych

Do części dziesiętnych zostawiasz jedną cyfrę po przecinku. Do setnych zostawiasz dwie cyfry po przecinku.

PRZYKŁAD

Zaokrąglij $5{,}276$ do części dziesiętnych i setnych.

Rozwiązanie

Do części dziesiętnych patrzymy na cyfrę setnych, czyli $7$ , więc $5{,}276\approx5{,}3$ . Do setnych patrzymy na cyfrę tysięcznych, czyli $6$ , więc $5{,}276\approx5{,}28$ .

Im więcej miejsc zostawiasz, tym dokładniejsze przybliżenie.

07WYJAŚNIENIE

Szacowanie w zadaniu zamkniętym

W zadaniach zamkniętych czasem wystarczy dobre przybliżenie. Jeśli odpowiedzi są daleko od siebie, szacowanie może szybko wskazać właściwy rząd wielkości.

PRZYKŁAD

Która liczba jest najbliższa wartości $19{,}7\cdot5{,}1$ ?

Rozwiązanie

$19{,}7\approx20$ oraz $5{,}1\approx5$ , więc $19{,}7\cdot5{,}1\approx20\cdot5=100$ .

Wskazówka

Jeśli odpowiedzi są bardzo blisko siebie, trzeba policzyć dokładniej.

Szacowanie prowadzi do oczekiwanego wyniku, zanim wykonasz dokładny rachunek.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Liczba $8{,}746$ zaokrąglona do części setnych to:

$8{,}74$

$8{,}75$

$8{,}7$

$8{,}8$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$8{,}75$

PYTANIE 02

Liczba $372$ zaokrąglona do dziesiątek to:

$300$

$370$

$372$

$400$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$370$

PYTANIE 03

Najlepsze szybkie oszacowanie wartości $31{,}2\cdot9{,}8$ to:

około $30$

około $100$

około $300$

około $3000$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

około $300$

PYTANIE 04

Który sposób jest najbezpieczniejszy, jeśli wynik działania ma być podany z dokładnością do setnych?

Zaokrąglić wszystkie liczby do jedności przed obliczeniem.

Zaokrąglić wszystkie liczby do dziesiątek przed obliczeniem.

Liczyć możliwie dokładnie i zaokrąglić wynik końcowy.

Nie stosować przecinków w rachunku.

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

Liczyć możliwie dokładnie i zaokrąglić wynik końcowy.

NA KONIEC

Podsumowanie: zaokrąglanie i szacowanie

Zaokrąglając liczbę, wybierasz rząd i sprawdzasz cyfrę po jego prawej stronie. W dokładnych obliczeniach zaokrąglaj dopiero wynik końcowy. Szacowanie służy do szybkiego sprawdzenia, czy wynik ma sens.

Zapamiętaj

$12{,}348\approx12{,}35$ do setnych.

$468\approx470$ do dziesiątek.

$468\approx500$ do setek.

Dokładny rachunek: zaokrąglaj na końcu.

Szacowanie: upraszczaj liczby świadomie.

Umiesz już używać przybliżeń bez tracenia kontroli nad wynikiem.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Co znaczy zaokrąglić liczbę?

Reguła zaokrąglania

Do dziesiątek, setek i części dziesiętnych

Nie zaokrąglaj za wcześnie

Szacowanie wyniku

Zaokrąglanie do części dziesiętnych i setnych

Szacowanie w zadaniu zamkniętym

Teraz Twoja kolej

Liczba 8,7468{,}7468,746 zaokrąglona do części setnych to:

Liczba 372372372 zaokrąglona do dziesiątek to:

Najlepsze szybkie oszacowanie wartości 31,2⋅9,831{,}2\cdot9{,}831,2⋅9,8 to:

Który sposób jest najbezpieczniejszy, jeśli wynik działania ma być podany z dokładnością do setnych?

Podsumowanie: zaokrąglanie i szacowanie

Liczba $8{,}746$ zaokrąglona do części setnych to:

Liczba $372$ zaokrąglona do dziesiątek to:

Najlepsze szybkie oszacowanie wartości $31{,}2\cdot9{,}8$ to: