Działania na ułamkach

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Ułamki są zwykłymi liczbami, ale przy działaniach trzeba dobrać właściwy ruch. Najważniejsze decyzje to wspólny mianownik przy dodawaniu i odejmowaniu, skracanie przy mnożeniu oraz odwrotność przy dzieleniu.

Plan tej lekcji

Zaczniesz od skracania i rozszerzania.

Potem przejdziesz do wspólnego mianownika.

Następnie wykonasz dodawanie i odejmowanie.

Na końcu przećwiczysz mnożenie, dzielenie i znaki minus.

Na start

Dodawanie i odejmowanie wymagają wspólnego mianownika.

Mnożenie nie wymaga wspólnego mianownika.

Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez odwrotność.

Po tej lekcji:

skrócisz i rozszerzysz ułamki
dodasz i odejmiesz ułamki o różnych mianownikach
pomnożysz i podzielisz ułamki zwykłe

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Skracanie i rozszerzanie

Skracanie polega na podzieleniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera. Rozszerzanie działa odwrotnie: licznik i mianownik mnożysz przez tę samą liczbę.

$\frac{12}{18}=\frac{12:6}{18:6}=\frac{2}{3}$

$\frac{2}{3}=\frac{2\cdot4}{3\cdot4}=\frac{8}{12}$

PRZYKŁAD

Skróć $\frac{24}{36}$ i rozszerz $\frac{3}{5}$ do mianownika $20$ .

Rozwiązanie

$\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$ , bo licznik i mianownik dzielimy przez $12$ . Do mianownika $20$ mnożymy przez $4$ , więc $\frac{3}{5}=\frac{12}{20}$ .

Wskazówka

Pułapka: nie wolno zmienić tylko licznika albo tylko mianownika. Wtedy zmienia się wartość ułamka.

Skracanie i rozszerzanie zmieniają zapis ułamka, ale nie jego wartość.

02WYJAŚNIENIE

Wspólny mianownik przy dodawaniu

Ułamki można dodać od razu tylko wtedy, gdy mają taki sam mianownik. Jeśli mianowniki są różne, najpierw zapisujesz ułamki w tych samych częściach całości.

$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{2}{4}=\frac{3}{4}$

Połówka zapisana jako dwie czwarte dodana do jednej czwartej daje trzy czwarte.

Znajdź wspólny mianownik.

Rozszerz ułamki do tego mianownika.

Dodaj albo odejmij liczniki.

Mianownik zostaw bez zmian.

Skróć wynik, jeśli się da.

Wskazówka

Pułapka: przy dodawaniu nie dodajemy mianowników. $\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$ nie daje $\frac{2}{6}$ .

03WYJAŚNIENIE

Dodawanie i odejmowanie krok po kroku

Przy dodawaniu i odejmowaniu najpierw doprowadzasz ułamki do tych samych części. Dopiero wtedy działasz na licznikach.

PRZYKŁAD

Oblicz $\frac{2}{3}+\frac{1}{6}$ oraz $\frac{5}{8}-\frac{1}{4}$ .

Rozwiązanie

$\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$

$\frac{5}{8}-\frac{1}{4}=\frac{5}{8}-\frac{2}{8}=\frac{3}{8}$

Wskazówka

Jeśli wynik ma licznik ujemny, to nadal może być poprawny ułamek, na przykład $\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$ .

Po sprowadzeniu do tych samych części można dodawać albo odejmować liczniki.

04WYJAŚNIENIE

Mnożenie i dzielenie ułamków

Przy mnożeniu ułamków mnożysz licznik przez licznik i mianownik przez mianownik. Przy dzieleniu zostawiasz pierwszy ułamek, zmieniasz dzielenie na mnożenie i odwracasz drugi ułamek.

$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$

PRZYKŁAD

Oblicz $\frac{3}{5}\cdot\frac{10}{9}$ oraz $\frac{2}{3}:\frac{4}{5}$ .

Rozwiązanie

Przy mnożeniu można skracać czynniki licznika z czynnikami mianownika: $\frac{3\cdot10}{5\cdot9}=\frac{1\cdot2}{1\cdot3}=\frac{2}{3}$ . Liczby $3$ i $9$ podzieliliśmy przez $3$ , a $10$ i $5$ przez $5$ . Przy dzieleniu odwracamy drugi ułamek: $\frac{2}{3}:\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$ .

Wskazówka

Pułapka: przy dzieleniu odwracamy tylko drugi ułamek, nie pierwszy.

Przy mnożeniu skracanie zmniejsza liczby w rachunku. Przy dzieleniu mnożysz przez odwrotność drugiego ułamka.

05WYJAŚNIENIE

Znak minus przy ułamkach

Minus może stać przed całym ułamkiem, w liczniku albo w mianowniku. Te trzy zapisy oznaczają tę samą liczbę. Dwa minusy dają liczbę dodatnią.

$-\frac{2}{5}=\frac{-2}{5}=\frac{2}{-5}\qquad \frac{-2}{-5}=\frac{2}{5}$

PRZYKŁAD

Oblicz $-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}$ .

Rozwiązanie

$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$ , więc $-\frac{3}{4}+\frac{2}{4}=-\frac{1}{4}$ .

Wskazówka

Nie gub minusa przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika. Ujemny ułamek po rozszerzeniu nadal jest ujemny.

Dodawanie liczby dodatniej do ujemnej może dać wynik ujemny, jeśli część ujemna ma większą wartość bezwzględną.

06WYJAŚNIENIE

Rozszerzanie do wskazanego mianownika

Rozszerzanie przygotowuje ułamki do wspólnego mianownika. Mnożysz licznik i mianownik przez tę samą liczbę.

PRZYKŁAD

Rozszerz $\frac{3}{5}$ do mianownika $20$ .

Rozwiązanie

Sprawdzamy, przez co trzeba pomnożyć $5$ , żeby dostać $20$ : $5\cdot4=20$ . Licznik też mnożymy przez $4$ , więc $\frac{3}{5}=\frac{12}{20}$ .

$\frac{3}{5}$ i $\frac{12}{20}$ to ta sama część całości zapisana innymi jednostkami.

07WYJAŚNIENIE

Dodawanie ułamków krok po kroku

Gdy mianowniki są różne, sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, dodajemy liczniki i zostawiamy mianownik bez zmian.

PRZYKŁAD

Oblicz $\frac{2}{3}+\frac{1}{6}$ .

Rozwiązanie

Wspólny mianownik dla $3$ i $6$ to $6$ . Rozszerzamy: $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$ . Dodajemy: $\frac{4}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$ .

Po sprowadzeniu do tych samych części można dodać liczniki.

08WYJAŚNIENIE

Odejmowanie ułamków

Odejmowanie ułamków działa podobnie jak dodawanie: potrzebny jest wspólny mianownik, a potem odejmujesz liczniki.

PRZYKŁAD

Oblicz $\frac{5}{8}-\frac{1}{4}$ .

Rozwiązanie

Wspólny mianownik dla $8$ i $4$ to $8$ . Mamy $\frac{1}{4}=\frac{2}{8}$ , więc $\frac{5}{8}-\frac{2}{8}=\frac{3}{8}$ .

Odejmujemy części tego samego rozmiaru.

09WYJAŚNIENIE

Dzielenie przez ułamek

Dzielenie przez ułamek zamieniamy na mnożenie przez jego odwrotność. Odwrotność powstaje przez zamianę licznika z mianownikiem. Dlaczego odwracamy dzielnik? Iloczyn liczby i jej odwrotności wynosi $1$ , np. $\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{4}=1$ . Mnożenie przez odwrotność cofa więc mnożenie przez tę liczbę. Dzielnik musi być różny od zera.

PRZYKŁAD

Oblicz $\frac{2}{3}:\frac{4}{5}$ .

Rozwiązanie

Skracanie i rozszerzanie zmieniają zapis ułamka, ale nie jego wartość. Do dodawania i odejmowania potrzebny jest wspólny mianownik. Przy mnożeniu mnożysz liczniki i mianowniki, a przy dzieleniu mnożysz przez odwrotność.

Zapamiętaj

Dodawanie: wspólny mianownik.

Odejmowanie: wspólny mianownik.

Mnożenie: licznik razy licznik, mianownik razy mianownik.

Dzielenie: mnożenie przez odwrotność.

Minus przenoś ostrożnie i zapisuj go przy całym ułamku.

Masz komplet podstawowych decyzji rachunkowych dla ułamków.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Skracanie i rozszerzanie

Wspólny mianownik przy dodawaniu

Dodawanie i odejmowanie krok po kroku

Mnożenie i dzielenie ułamków

Znak minus przy ułamkach

Rozszerzanie do wskazanego mianownika

Dodawanie ułamków krok po kroku

Odejmowanie ułamków

Dzielenie przez ułamek

Teraz Twoja kolej

Wynik działania 13+16\frac{1}{3}+\frac{1}{6}31​+61​ jest równy:

Wynik działania 710−15\frac{7}{10}-\frac{1}{5}107​−51​ jest równy:

Wynik działania 49⋅38\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}94​⋅83​ jest równy:

Wynik działania 56:103\frac{5}{6}:\frac{10}{3}65​:310​ jest równy:

Wynik działania −23+16-\frac{2}{3}+\frac{1}{6}−32​+61​ jest równy:

Podsumowanie: działania na ułamkach

Wynik działania $\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$ jest równy:

Wynik działania $\frac{7}{10}-\frac{1}{5}$ jest równy:

Wynik działania $\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}$ jest równy:

Wynik działania $\frac{5}{6}:\frac{10}{3}$ jest równy:

Wynik działania $-\frac{2}{3}+\frac{1}{6}$ jest równy: