Co będziesz umieć po tej lekcji?
W tej lekcji liczby będą punktami na osi. Dzięki temu łatwiej zobaczysz, która liczba jest większa, dlaczego liczby ujemne porównuje się położeniem oraz co oznaczają proste nierówności.
Najpierw ustawisz liczby na osi.
Potem porównasz liczby dodatnie i ujemne.
Następnie połączysz znaki nierówności z zaznaczeniem na osi.
Na osi liczba bardziej po prawej jest większa.
- zaznaczysz liczby na osi
- porównasz liczby dodatnie i ujemne
- odczytasz i zaznaczysz proste nierówności
Wyjaśnienie krok po kroku
Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.
Liczba jako punkt na osi
Oś liczbowa to prosta z wybranym punktem zero, kierunkiem w prawo i równymi odstępami. Każdej liczbie rzeczywistej odpowiada dokładnie jeden punkt na osi.
Zero oddziela liczby ujemne od dodatnich.
Liczby dodatnie leżą na prawo od zera.
Liczby ujemne leżą na lewo od zera.
Równe odległości na osi oznaczają równe różnice liczb.
Im bardziej w prawo, tym większa liczba
Najważniejsza zasada porównywania na osi jest jedna: liczba leżąca bardziej na prawo jest większa. Działa to także dla liczb ujemnych.
Porównaj liczby i .
leży bardziej na prawo od , dlatego .
Liczba po prawej stronie osi jest większa.
Liczba po lewej stronie osi jest mniejsza.
Wśród liczb ujemnych większa jest ta, która leży bliżej zera.
Dlaczego minus siedem jest mniejsze od minus dwa?
Przy liczbach ujemnych nie porównujemy samych cyfr, tylko położenie punktów na osi. Liczba leży dalej na lewo niż , więc jest mniejsza.
Pułapka: z tego, że , nie wynika, że .
Znaki nierówności
Nierówność mówi, która liczba jest większa, mniejsza albo czy dopuszczamy równość. Znak czytamy od lewej do prawej.
Zapisz słownie nierówność .
oznacza, że jest liczbą mniejszą od albo równą .
i nie zawierają liczby granicznej.
i zawierają liczbę graniczną.
Liczba należy do rozwiązania, bo znak dopuszcza równość.
Zaznaczanie nierówności na osi
Warunek oznacza wszystkie liczby po prawej stronie liczby . Warunek oznacza liczby po lewej stronie liczby oraz samą liczbę .
Puste kółko oznacza, że liczba graniczna nie należy do rozwiązania.
Pełne kółko oznacza, że liczba graniczna należy do rozwiązania.
Zaznaczenie w prawo oznacza liczby większe.
Zaznaczenie w lewo oznacza liczby mniejsze.
Dla nie zamalowujemy punktu , bo nie jest większe od siebie.
Porównywanie różnych zapisów
Ułamki i liczby dziesiętne też są punktami na osi. Żeby je porównać, najczęściej warto sprowadzić je do jednego zapisu.
Porównaj i .
Zamieniamy trzy czwarte na setne: . Dopisanie zera nie zmienia wartości: . Ponieważ , mamy .
Przy porównywaniu liczb zapisanych różnie najpierw ujednolić zapis. Decyzja jest wtedy mniej podatna na błąd.
Liczba leży na osi bardziej w prawo niż .
Które liczby spełniają nierówność?
Po zaznaczeniu nierówności na osi można sprawdzać konkretne liczby. Dla znaku z kreską liczba graniczna też spełnia warunek.
Czy liczby spełniają warunek ?
spełnia warunek, bo . spełnia warunek, bo dopuszczamy równość. nie spełnia warunku, bo .
Znak oznacza, że liczba graniczna też jest dozwolona.
Teraz Twoja kolej
Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.
Która nierówność jest prawdziwa?
Sprawdź odpowiedź
Która liczba spełnia warunek ?
Sprawdź odpowiedź
Warunek oznacza:
tylko liczby mniejsze od
tylko liczbę
liczby większe od oraz
liczby mniejsze od oraz liczbę
Sprawdź odpowiedź
liczby mniejsze od oraz liczbę
Która liczba jest większa: czy ?
Są równe
Nie da się porównać
Sprawdź odpowiedź
Podsumowanie: oś liczbowa
Liczby można traktować jako punkty na osi. Im bardziej punkt leży w prawo, tym większą liczbę oznacza. Nierówności bez kreski nie zawierają liczby granicznej, a nierówności z kreską ją zawierają.
Bardziej w prawo oznacza większą liczbę.
Puste kółko: granica nie należy do rozwiązania.
Pełne kółko: granica należy do rozwiązania.
Przy różnych zapisach warto sprowadzić liczby do jednej formy.
Masz podstawowy język osi liczbowej i prostych nierówności.