Kolejność wykonywania działań

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wynik wyrażenia nie zależy od wygody liczącego. Matematyka ma ustaloną kolejność działań i właśnie dzięki niej każdy powinien dostać ten sam wynik.

Plan tej lekcji

Przećwiczysz nawiasy.

Potem potęgi i pierwiastki.

Następnie mnożenie oraz dzielenie od lewej do prawej.

Na końcu dodawanie oraz odejmowanie od lewej do prawej.

Na start

Kolejność działań to instrukcja, w jakiej kolejności upraszczać wyrażenie.

Po tej lekcji:

zastosujesz kolejność działań
policzysz wyrażenia z nawiasami, potęgami i pierwiastkami
unikniesz błędów z minusem, dzieleniem i kreską ułamkową

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Główna kolejność działań

Jeżeli w wyrażeniu występuje kilka działań, zaczynamy od działań o najwyższym priorytecie. Dodawanie nie ma pierwszeństwa przed mnożeniem tylko dlatego, że stoi wcześniej.

Nawiasy.

Potęgi i pierwiastki.

Mnożenie i dzielenie od lewej do prawej.

Dodawanie i odejmowanie od lewej do prawej.

Wskazówka

Pułapka: $6+2\cdot 5$ nie liczymy jako $8\cdot 5$ . Najpierw mnożenie: $6+10=16$ .

02WYJAŚNIENIE

Nawiasy zmieniają kolejność

Nawias mówi, co policzyć najpierw. Dlatego podobne zapisy mogą mieć różne wyniki.

PRZYKŁAD

Oblicz $(6+2)\cdot 5$ .

Rozwiązanie

Najpierw nawias: $6+2=8$ . Potem mnożenie: $8\cdot 5=40$ .

Zapamiętaj

Nawias ma pierwszeństwo przed wszystkimi innymi działaniami.

$6+2\cdot5=16$ , ale $(6+2)\cdot5=40$ .

Nawias sprawił, że dodawanie zostało wykonane przed mnożeniem.

03WYJAŚNIENIE

Potęgi i pierwiastki przed mnożeniem

Po nawiasach liczymy potęgi i pierwiastki. Dopiero potem przechodzimy do mnożenia, dzielenia, dodawania i odejmowania. Kwadrat liczby oznacza mnożenie jej przez siebie: $3^2=3\cdot3$ . Pierwiastek $\sqrt{25}$ to nieujemna liczba, której kwadrat wynosi $25$ ; tutaj jest nią $5$ .

PRZYKŁAD

Oblicz $3^2+4\cdot\sqrt{25}$ .

Rozwiązanie

$3^2=9$ i $\sqrt{25}=5$ , więc $3^2+4\cdot\sqrt{25}=9+4\cdot5=9+20=29$ .

Wskazówka

Nie licz dodawania przed pierwiastkiem lub potęgą. Potęgi i pierwiastki mają wyższy priorytet niż dodawanie.

Potęga i pierwiastek zostały policzone przed mnożeniem i dodawaniem.

04WYJAŚNIENIE

Działania o tym samym priorytecie

Mnożenie nie jest zawsze przed dzieleniem. Dodawanie nie jest zawsze przed odejmowaniem. Gdy działania mają ten sam priorytet, liczymy od lewej do prawej.

PRZYKŁAD

Oblicz $24:6\cdot2$ oraz $20-8+3$ .

Rozwiązanie

$24:6\cdot2=4\cdot2=8$

$20-8+3=12+3=15$

Wskazówka

Pułapka: $24:6\cdot2$ nie jest równe $24:12$ . Dzielenie i mnożenie licz od lewej.

Działania o tym samym priorytecie liczymy od lewej do prawej.

05WYJAŚNIENIE

Minus przed nawiasem i kreska ułamkowa

Minus przed nawiasem oznacza odejmowanie całej zawartości nawiasu. Kreska ułamkowa działa jak nawias dla całego licznika i całego mianownika.

$-(a+b)=-a-b\qquad -(a-b)=-a+b$

PRZYKŁAD

Oblicz $10-(4-7)$ oraz $\frac{6+4}{5-3}$ .

Rozwiązanie

$10-(4-7)=10-(-3)=13$

$\frac{6+4}{5-3}=\frac{10}{2}=5$

Wskazówka

Po minusie przed nawiasem zmieniają się znaki w środku. Kreska ułamkowa każe najpierw policzyć osobno górę i dół.

Odejmowanie liczby ujemnej zamienia się w dodawanie, a cały licznik i mianownik traktujemy jak nawiasy.

06WYJAŚNIENIE

Rozpisuj rachunek po jednym kroku

W dłuższych przykładach najbezpieczniej zmieniać tylko jedną warstwę wyrażenia naraz. Wtedy łatwiej zauważyć błąd w nawiasie, potędze albo znaku minus.

PRZYKŁAD

Oblicz $2\cdot(7-3)^2-18:3$ .

Rozwiązanie

$2\cdot(7-3)^2-18:3$

$2\cdot4^2-18:3$

$2\cdot16-6$

$32-6=26$

Wskazówka

Jeden wiersz rachunku powinien pokazywać jedną decyzję. Nie rób kilku skrótów naraz, jeśli łatwo o pomyłkę.

Każdy wiersz wynika z jednej decyzji w kolejności działań.

07WYJAŚNIENIE

Dodawanie i odejmowanie od lewej do prawej

Dodawanie i odejmowanie mają ten sam priorytet. Jeżeli w wyrażeniu są tylko te działania, liczymy od lewej do prawej.

PRZYKŁAD

Oblicz $20-8+3$ .

Rozwiązanie

Odejmowanie i dodawanie mają ten sam priorytet, więc liczymy od lewej: $20-8=12$ , potem $12+3=15$ .

Wskazówka

Pułapka: $20-8+3$ nie liczymy jako $20-11$ , bo przed $8$ stoi minus.

Wynik to $15$ .

08WYJAŚNIENIE

Kreska ułamkowa działa jak nawias

Kreska ułamkowa oddziela cały licznik od całego mianownika. Najpierw liczysz górę i dół, a dopiero potem dzielisz.

PRZYKŁAD

Oblicz $\frac{6+4}{5-3}$ .

Rozwiązanie

Licznik: $6+4=10$ . Mianownik: $5-3=2$ . Dzielimy: $\frac{10}{2}=5$ .

Zapamiętaj

$\frac{6+4}{5-3}$ oznacza $(6+4):(5-3)$ .

Cały licznik i cały mianownik traktujemy jakby były w nawiasach.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Wartość wyrażenia $5+3\cdot4$ jest równa:

$32$

$17$

$20$

$12$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$17$

PYTANIE 02

Wartość wyrażenia $36:6\cdot3$ jest równa:

$2$

$6$

$12$

$18$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D

$18$

PYTANIE 03

Wartość wyrażenia $12-(5-9)$ jest równa:

$-2$

$8$

$16$

$26$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$16$

PYTANIE 04

Wartość wyrażenia $\frac{8+4}{6-2}$ jest równa:

$2$

$3$

$6$

$10$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$3$

NA KONIEC

Podsumowanie: kolejność działań

Najpierw liczysz nawiasy, potem potęgi i pierwiastki, potem mnożenie i dzielenie od lewej do prawej, a na końcu dodawanie i odejmowanie od lewej do prawej.

Zapamiętaj

Mnożenie i dzielenie mają ten sam priorytet.

Dodawanie i odejmowanie mają ten sam priorytet.

Kreska ułamkowa działa jak nawias.

Minus przed nawiasem zmienia znaki w środku.

Masz schemat liczenia wyrażeń krok po kroku.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Główna kolejność działań

Nawiasy zmieniają kolejność

Potęgi i pierwiastki przed mnożeniem

Działania o tym samym priorytecie

Minus przed nawiasem i kreska ułamkowa

Rozpisuj rachunek po jednym kroku

Dodawanie i odejmowanie od lewej do prawej

Kreska ułamkowa działa jak nawias

Teraz Twoja kolej

Wartość wyrażenia 5+3⋅45+3\cdot45+3⋅4 jest równa:

Wartość wyrażenia 36:6⋅336:6\cdot336:6⋅3 jest równa:

Wartość wyrażenia 12−(5−9)12-(5-9)12−(5−9) jest równa:

Wartość wyrażenia 8+46−2\frac{8+4}{6-2}6−28+4​ jest równa:

Podsumowanie: kolejność działań

Wartość wyrażenia $5+3\cdot4$ jest równa:

Wartość wyrażenia $36:6\cdot3$ jest równa:

Wartość wyrażenia $12-(5-9)$ jest równa:

Wartość wyrażenia $\frac{8+4}{6-2}$ jest równa: