Liczby naturalne, całkowite, wymierne i rzeczywiste

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W zadaniach maturalnych często trzeba rozpoznać, z jakiego rodzaju liczbą pracujesz. W tej lekcji przejdziesz od liczb naturalnych do rzeczywistych i nauczysz się wybierać najdokładniejszy opis liczby.

Plan tej lekcji

Najpierw rozpoznasz podstawowe zbiory liczb.

Potem zobaczysz, że te zbiory są w sobie zagnieżdżone.

Na końcu wybierzesz najmniejszy pasujący zbiór, a nie tylko dowolny poprawny.

Na start

Jedna liczba może należeć do kilku zbiorów naraz.

Na maturze często chodzi o najdokładniejszą klasyfikację.

Po tej lekcji:

rozpoznasz liczby naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne i rzeczywiste
odczytasz zależności między zbiorami liczb
wybierzesz najmniejszy pasujący zbiór

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Liczby naturalne

Liczby naturalne służą do podawania liczby elementów i numerowania. W tej lekcji przyjmujemy konwencję szkolną z zerem w zbiorze liczb naturalnych.

$\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,\ldots\}$

Symbol $\mathbb{N}$ oznacza zbiór liczb naturalnych.

Liczby naturalne nie są ujemne.

Liczby naturalne nie mają części ułamkowej.

PRZYKŁAD

Czy liczby $7,\ 0,\ -3,\ \frac{1}{2}$ należą do $\mathbb{N}$ ?

Rozwiązanie

$7$ i $0$ należą do $\mathbb{N}$ . Liczba $-3$ jest ujemna, a $\frac{1}{2}$ nie jest całą liczbą.

Wskazówka

Pułapka: liczba dodatnia nie musi być naturalna. $\frac{1}{2}$ jest dodatnia, ale nie jest naturalna.

Do liczb naturalnych pasują liczby całe nieujemne.

02WYJAŚNIENIE

Całkowite i wymierne

Liczby całkowite rozszerzają naturalne o liczby ujemne. Liczby wymierne to te, które da się zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych z niezerowym mianownikiem.

$\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}$

$x\in\mathbb{Q}\quad \text{gdy}\quad x=\frac{a}{b},\ a,b\in\mathbb{Z},\ b\neq 0$ Symbol $\mathbb{Z}$ oznacza liczby całkowite, a $\mathbb{Q}$ — wymierne. Zapis $x\in\mathbb{Q}$ czytamy: „liczba x należy do zbioru liczb wymiernych”.

Każda liczba naturalna jest całkowita.

Każda liczba całkowita jest wymierna, bo można ją zapisać z mianownikiem $1$ .

Nie każda liczba wymierna jest całkowita.

PRZYKŁAD

Wskaż liczby całkowite: $-8,\ 2{,}5,\ 0,\ \frac{6}{3},\ \frac{5}{2}$ .

Rozwiązanie

$-8$ i $0$ są całkowite. $\frac{6}{3}=2$ , więc też jest całkowita. $2{,}5$ oraz $\frac{5}{2}=2{,}5$ nie są całkowite.

Zapamiętaj

$-4=\frac{-4}{1}$ , więc liczba całkowita jest wymierna.

$\frac{3}{4}\in\mathbb{Q}$ , ale $\frac{3}{4}\notin\mathbb{Z}$ .

O przynależności do zbioru decyduje wartość liczby, a nie tylko jej zapis.

03WYJAŚNIENIE

Niewymierne i rzeczywiste

Liczby niewymierne nie mają zapisu w postaci ułamka zwykłego z całkowitym licznikiem i mianownikiem. Liczby rzeczywiste to liczby wymierne i niewymierne razem, czyli liczby, które leżą na osi liczbowej.

$\sqrt{2},\ \sqrt{3},\ \pi$

Diagram zagnieżdżonych zbiorów liczb N, Z, Q i R. Zero znajduje się w zbiorze liczb naturalnych, a liczby niewymierne tworzą osobny obszar w zbiorze liczb rzeczywistych.

Symbol $\mathbb{R}$ oznacza liczby rzeczywiste, a $\subset$ mówi, że każdy element zbioru po lewej należy też do zbioru po prawej.

$\sqrt{4}=2$ , więc ten pierwiastek jest wymierny.

$\sqrt{10}$ jest niewymierne.

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

Wskazówka

Pułapka: sam znak pierwiastka nie wystarcza. $\sqrt{16}=4$ , więc to liczba naturalna, całkowita i wymierna.

04WYJAŚNIENIE

Dlaczego każda całkowita jest wymierna?

Liczba wymierna to taka, którą można zapisać jako ułamek o całkowitym liczniku i mianowniku różnym od zera. Liczba całkowita też ma taki zapis.

PRZYKŁAD

Dlaczego każda liczba całkowita jest wymierna?

Rozwiązanie

Weźmy liczbę $-4$ . Można ją zapisać jako $\frac{-4}{1}$ . Licznik jest całkowity, mianownik jest całkowity i mianownik nie jest zerem.

Wskazówka

To, że liczba jest zapisana bez kreski ułamkowej, nie znaczy, że nie jest wymierna. $12=\frac{12}{1}$ .

Każda liczba całkowita mieści się w zbiorze liczb wymiernych.

05WYJAŚNIENIE

Nie każda wymierna jest całkowita

Zależność działa tylko w jedną stronę. Każda całkowita jest wymierna, ale ułamek może być wymierny i jednocześnie nie być całkowity.

$\frac{3}{4}\in\mathbb{Q}\qquad \frac{3}{4}\notin\mathbb{Z}$

PRZYKŁAD

Czy $\frac{12}{4},\ \frac{12}{5},\ -7$ należą do $\mathbb{Z}$ i $\mathbb{Q}$ ?

Rozwiązanie

$\frac{12}{4}=3$ , więc należy do $\mathbb{Z}$ i do $\mathbb{Q}$ . $\frac{12}{5}=2{,}4$ , więc należy do $\mathbb{Q}$ , ale nie do $\mathbb{Z}$ . Liczba $-7$ jest całkowita, więc również wymierna.

Najpierw warto uprościć liczbę, a dopiero potem ją klasyfikować.

06WYJAŚNIENIE

Sam pierwiastek nie wystarcza

Liczby z pierwiastkiem trzeba najpierw sprawdzić. Czasem pierwiastek daje liczbę całkowitą, a czasem liczbę niewymierną.

PRZYKŁAD

Która z liczb jest niewymierna: $\sqrt{9},\ \sqrt{10},\ \frac{7}{2},\ -3$ ?

Rozwiązanie

$\sqrt{9}=3$ , więc jest wymierna. $\sqrt{10}$ nie jest pierwiastkiem z kwadratu liczby całkowitej, więc jest niewymierna. $\frac{7}{2}$ jest wymierna, a $-3$ jest całkowita, więc wymierna.

Wskazówka

$\sqrt{16}=4$ , więc ten pierwiastek oznacza liczbę naturalną, całkowitą i wymierną.

Dla pierwiastka kwadratowego z liczby naturalnej sprawdź, czy liczba pod pierwiastkiem jest kwadratem liczby całkowitej. Sam brak krótkiego zapisu dziesiętnego nie rozstrzyga o niewymierności.

07WYJAŚNIENIE

Najmniejszy pasujący zbiór

Jeżeli zadanie pyta o najmniejszy zbiór, wybierasz najbardziej precyzyjną odpowiedź. Liczba może należeć do wielu zbiorów, ale jeden z nich opisuje ją najdokładniej.

Najpierw sprawdź, czy liczba jest naturalna.

Jeśli nie, sprawdź, czy jest całkowita.

Jeśli nie, sprawdź, czy jest wymierna.

Jeśli nie jest wymierna, ale leży na osi, jest rzeczywista niewymierna.

PRZYKŁAD

Wskaż najmniejszy zbiór spośród $\mathbb{N},\ \mathbb{Z},\ \mathbb{Q},\ \mathbb{R}$ , do którego należy liczba $-6$ .

Rozwiązanie

$-6\notin\mathbb{N}$ , bo jest ujemna. $-6\in\mathbb{Z}$ , więc należy też do $\mathbb{Q}$ i $\mathbb{R}$ . Najmniejszy pasujący zbiór to $\mathbb{Z}$ .

Wskazówka

Przy pierwiastkach najpierw sprawdź, czy wynik nie jest liczbą całkowitą. $\sqrt{25}=5$ , więc najmniejszy zbiór to $\mathbb{N}$ .

Nie wybieramy $\mathbb{R}$ , chociaż odpowiedź byłaby prawdziwa. Szukamy najdokładniejszego opisu.

08WYJAŚNIENIE

Najpierw uprość liczbę

Na maturze liczba może być zapisana tak, żeby nie było od razu widać, czym jest. Nie klasyfikuj po wyglądzie zapisu. Najpierw uprość wyrażenie.

PRZYKŁAD

Określ najmniejszy zbiór dla liczby $\frac{18}{6}-\sqrt{4}$ .

Rozwiązanie

$\frac{18}{6}=3$ oraz $\sqrt{4}=2$ , więc $\frac{18}{6}-\sqrt{4}=3-2=1$ . Liczba $1$ należy do $\mathbb{N}$ .

Wskazówka

Wyrażenie z ułamkiem i pierwiastkiem może po uproszczeniu dać liczbę naturalną.

Wyrażenie wygląda na bardziej skomplikowane, ale jego wartość to zwykła liczba naturalna.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Najmniejszym zbiorem spośród $\mathbb{N},\ \mathbb{Z},\ \mathbb{Q},\ \mathbb{R}$ , do którego należy liczba $\frac{15}{3}$ , jest:

$\mathbb{N}$

$\mathbb{Z}$

$\mathbb{Q}$

$\mathbb{R}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$\mathbb{N}$

PYTANIE 02

Która liczba jest niewymierna?

$\sqrt{36}$

$\frac{7}{8}$

$\sqrt{5}$

$-12$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$\sqrt{5}$

PYTANIE 03

Które zdanie jest prawdziwe?

Każda liczba wymierna jest całkowita.

Każda liczba całkowita jest wymierna.

Każda liczba rzeczywista jest wymierna.

Każda liczba niewymierna jest całkowita.

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

Każda liczba całkowita jest wymierna.

PYTANIE 04

Najmniejszym zbiorem spośród $\mathbb{N},\ \mathbb{Z},\ \mathbb{Q},\ \mathbb{R}$ , do którego należy liczba $-2{,}5$ , jest:

$\mathbb{N}$

$\mathbb{Z}$

$\mathbb{Q}$

$\mathbb{R}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$\mathbb{Q}$

NA KONIEC

Podsumowanie: rodzaje liczb

Liczby naturalne są częścią całkowitych, całkowite częścią wymiernych, a wymierne częścią rzeczywistych. Liczby niewymierne też są rzeczywiste, ale nie są wymierne.

Zapamiętaj

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

Każda całkowita jest wymierna.

Nie każda wymierna jest całkowita.

Najpierw upraszczaj, potem klasyfikuj.

Masz gotowy schemat klasyfikowania liczb w zadaniach maturalnych.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Liczby naturalne

Całkowite i wymierne

Niewymierne i rzeczywiste

Dlaczego każda całkowita jest wymierna?

Nie każda wymierna jest całkowita

Sam pierwiastek nie wystarcza

Najmniejszy pasujący zbiór

Najpierw uprość liczbę

Teraz Twoja kolej

Najmniejszym zbiorem spośród N, Z, Q, R\mathbb{N},\ \mathbb{Z},\ \mathbb{Q},\ \mathbb{R}N, Z, Q, R, do którego należy liczba 153\frac{15}{3}315​, jest:

Która liczba jest niewymierna?

Które zdanie jest prawdziwe?

Najmniejszym zbiorem spośród N, Z, Q, R\mathbb{N},\ \mathbb{Z},\ \mathbb{Q},\ \mathbb{R}N, Z, Q, R, do którego należy liczba −2,5-2{,}5−2,5, jest:

Podsumowanie: rodzaje liczb

Najmniejszym zbiorem spośród $\mathbb{N},\ \mathbb{Z},\ \mathbb{Q},\ \mathbb{R}$ , do którego należy liczba $\frac{15}{3}$ , jest:

Najmniejszym zbiorem spośród $\mathbb{N},\ \mathbb{Z},\ \mathbb{Q},\ \mathbb{R}$ , do którego należy liczba $-2{,}5$ , jest: