Pole powierzchni graniastosłupa

ZANIM ZACZNIESZ

Co będzie w tej lekcji?

Nauczysz się liczyć pole powierzchni graniastosłupa jako sumę dwóch podstaw i ścian bocznych. Najpierw rozpoznasz podstawę, potem policzysz jej pole i obwód, a na końcu złożysz pełny rachunek.

Na start

1. pole całkowite to wszystkie ściany

2. pole boczne w prostym graniastosłupie liczymy przez obwód podstawy

3. wynik pola zapisujemy w jednostkach kwadratowych

Po tej lekcji:

obliczysz pole boczne
obliczysz pole całkowite
dobierzesz pole właściwej podstawy

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Pole całkowite to wszystkie ściany

Pole powierzchni całkowitej oznacza pole wszystkich ścian razem. W graniastosłupie najwygodniej rozdzielić je na dwie podstawy i powierzchnię boczną.

Siatka graniastosłupa trójkątnego pokazująca dwie podstawy i ściany boczne.

$P_c=2P_p+P_b$

$P_p$ to pole jednej podstawy

$P_b$ to pole powierzchni bocznej

Wskazówka

Jeśli zadanie pyta tylko o pole boczne, nie dodajesz podstaw. Jeśli pyta o pole całkowite, dodajesz obie podstawy.

02WYJAŚNIENIE

Pole boczne graniastosłupa prostego

W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostokątami. Ich wspólna wysokość to wysokość bryły, a szerokości kolejnych prostokątów tworzą obwód podstawy.

$P_b=Obw_p\cdot H$

$Obw_p$ oznacza obwód podstawy

$H$ oznacza wysokość graniastosłupa

Zapamiętaj

Ten wzór bierze wszystkie ściany boczne naraz.

03WYJAŚNIENIE

Schemat liczenia pola całkowitego

Najbezpieczniej zapisać osobno pole jednej podstawy i obwód podstawy. Wtedy wiesz, skąd bierze się każda część wzoru. Ten schemat z obwodem podstawy dotyczy graniastosłupa prostego. W pochyłym ściany boczne nie muszą być prostokątami.

Krok $1$ : rozpoznaj figurę w podstawie.

Krok $2$ : policz $P_p$ i $Obw_p$ .

Krok $3$ : użyj wzoru $P_c=2P_p+Obw_p\cdot H$ .

04WYJAŚNIENIE

Prostopadłościan $3\times4\times7$

Traktujemy prostokąt $3\times4$ jako podstawę. Pole podstawy wynosi $12$ , obwód podstawy $14$ , a wysokość bryły $7$ .

$P_b=14\cdot7=98$

$P_c=2\cdot12+98=122$

Wskazówka

Iloczyn trzech wymiarów dałby objętość, nie pole powierzchni.

05WYJAŚNIENIE

Podstawa trójkątna

Podstawą jest trójkąt prostokątny o bokach $6,8,10$ , a wysokość graniastosłupa wynosi $5$ . Rysunek pokazuje tylko siatkę: dwie trójkątne podstawy i trzy prostokątne ściany boczne.

Siatka graniastosłupa trójkątnego z bokami podstawy 6, 8, 10 i wysokością bryły 5.

$P_p=\frac{1}{2}\cdot6\cdot8=24$

$Obw_p=6+8+10=24$

$P_c=2\cdot24+24\cdot5=168$

06WYJAŚNIENIE

Gdy podstawa jest foremna

W graniastosłupie prawidłowym podstawa jest wielokątem foremnym. Najpierw przypominasz sobie pole tej figury, a pole boczne dalej liczysz przez obwód podstawy i wysokość bryły.

$P_{\text{kwadratu}}=a^2$

$P_{\text{trójkąta równobocznego}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$P_{\text{sześciokąta foremnego}}=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

07WYJAŚNIENIE

Jednostki pola

Pole powierzchni zapisujemy w jednostkach kwadratowych, bo opisuje powierzchnię. Jeśli długości są w centymetrach, pole jest w centymetrach kwadratowych.

$\text{cm}\cdot\text{cm}=\text{cm}^2$

$\text{m}\cdot\text{m}=\text{m}^2$

pole $240$ przy długościach w centymetrach zapisujemy jako $240\ \text{cm}^2$

Wskazówka

Jednostki sześcienne, na przykład $\text{cm}^3$ , są dla objętości.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Dane: $P_p=15$ , $Obw_p=20$ , $H=6$

Podstawa graniastosłupa prostego ma pole $15$ , obwód $20$ , a wysokość wynosi $6$ . Ile wynosi pole całkowite?

$120$

$135$

$150$

$240$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$150$

$P_c=2\cdot15+20\cdot6=30+120=150$ .

PYTANIE 02

Pole boczne graniastosłupa prawidłowego czworokątnego

Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $5$ i wysokość $8$ . Ile wynosi jego pole boczne?

$40$

$80$

$160$

$200$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$160$

Obwód kwadratowej podstawy to $4\cdot5=20$ , więc $P_b=20\cdot8=160$ .

PYTANIE 03

Podstawa $2\times7$ , wysokość $4$

Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach $2$ i $7$ , a wysokość graniastosłupa wynosi $4$ . Ile wynosi pole całkowite?

$56$

$72$

$86$

$100$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D

$100$

$P_p=2\cdot7=14$ , $Obw_p=2\cdot2+2\cdot7=18$ , więc $P_c=2\cdot14+18\cdot4=100$ .

PYTANIE 04

Podstawa trójkątna $3,4,5$

Podstawą jest trójkąt o bokach $3,4,5$ . Pole tej podstawy wynosi $6$ , a wysokość graniastosłupa $10$ . Ile wynosi pole całkowite? Graniastosłup jest prosty.

$60$

$120$

$132$

$144$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$132$

Obwód podstawy wynosi $12$ . Pole boczne to $12\cdot10=120$ , a dwie podstawy mają pole $2\cdot6=12$ . Razem $132$ .

NA KONIEC

Najważniejsze rzeczy

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa to suma pól wszystkich ścian. Dla graniastosłupa prostego najwygodniej użyć wzoru $P_c=2P_p+Obw_p\cdot H$ . Najpierw liczysz pole jednej podstawy, potem obwód podstawy i pole boczne.

Zapamiętaj

pole zapisujemy w jednostkach kwadratowych

Co będzie w tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Pole całkowite to wszystkie ściany

Pole boczne graniastosłupa prostego

Schemat liczenia pola całkowitego

Prostopadłościan 3×4×73\times4\times73×4×7

Podstawa trójkątna

Gdy podstawa jest foremna

Jednostki pola

Teraz Twoja kolej

Dane: Pp=15P_p=15Pp​=15, Obwp=20Obw_p=20Obwp​=20, H=6H=6H=6

Pole boczne graniastosłupa prawidłowego czworokątnego

Podstawa 2×72\times72×7, wysokość 444

Podstawa trójkątna 3,4,53,4,53,4,5

Najważniejsze rzeczy

Prostopadłościan $3\times4\times7$

Dane: $P_p=15$ , $Obw_p=20$ , $H=6$

Podstawa $2\times7$ , wysokość $4$

Podstawa trójkątna $3,4,5$