Zadania z figurami złożonymi - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się rozwiązywać zadania, w których figura nie jest od razu jedną znaną figurą z tablic wzorów. Będziesz dzielić ją na prostsze części albo liczyć jako dużą figurę minus wycięty fragment.

Plan tej lekcji

Najpierw rozpoznasz, z jakich prostych figur składa się rysunek.

Potem zdecydujesz, czy wygodniej dodawać pola, czy odejmować.

Następnie przećwiczysz brakujące odcinki w figurach złożonych.

Potem policzysz obwód, pamiętając tylko o zewnętrznej krawędzi.

Na końcu rozwiążesz zadania zamknięte z typowymi pułapkami.

Na start

Figura złożona zwykle nie wymaga nowego wzoru.

Trzeba rozbić ją na figury, których wzory już znasz.

Po tej lekcji:

Po tej lekcji uczeń umie rozkładać figury złożone na prostsze części, obliczać ich pola i obwody oraz dobierać brakujące długości z zależności geometrycznych.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Dwie główne metody

Są dwa podstawowe sposoby liczenia pól figur złożonych. Albo dzielisz figurę na części i dodajesz pola, albo bierzesz większą figurę i odejmujesz brakujący fragment.

Pokazać metodę liczenia pola figury złożonej jako duży prostokąt minus wycięcie.

Metoda dodawania: $P=P_1+P_2+P_3$ .

Metoda odejmowania: $P=P_{\text{duża figura}}-P_{\text{wycięcie}}$ .

Jeśli figura ma „wcięcie”, często wygodniejsze jest odejmowanie.

Jeśli figura składa się z doklejonych części, często wygodniejsze jest dodawanie.

Przykład

Figura w kształcie litery L powstała z prostokąta $6\times5$ , z którego wycięto prostokąt $2\times3$ . Oblicz pole figury.

Rozwiązanie

Duży prostokąt ma wymiary $6$ i $5$ .

Pole dużego prostokąta wynosi $6\cdot5=30$ .

Wycięty prostokąt ma wymiary $2$ i $3$ .

Pole wycięcia wynosi $2\cdot3=6$ .

Pole figury złożonej wynosi $30-6=24$ .

Figura ma pole $24$ , bo jest dużym prostokątem bez wyciętego fragmentu.

02WYJAŚNIENIE

Rozkład na prostokąty

Figurę w kształcie litery L dzielimy na prostokąt o bokach sześć i dwa oraz prostokąt o bokach cztery i trzy. Pole figury jest sumą pól tych dwóch części.

$P=6\cdot2+4\cdot3=24$

Przykład

Figura w kształcie litery L składa się z prostokąta $6\times2$ oraz prostokąta $4\times3$ . Oblicz jej pole.

Rozwiązanie

Pierwszy prostokąt ma wymiary $6$ i $2$ .

Jego pole wynosi $6\cdot2=12$ .

Drugi prostokąt ma wymiary $4$ i $3$ .

Jego pole wynosi $4\cdot3=12$ .

Dodajemy pola: $12+12=24$ .

Pole figury wynosi $24$ . To ta sama wartość, którą można dostać metodą „duży minus mały”.

Wskazówka

Jeśli masz kilka możliwości podziału, wybierz tę, która daje najmniej brakujących długości.

03WYJAŚNIENIE

Obwód figury złożonej to tylko zewnętrzna krawędź

Przy polu możesz dodawać części wewnętrzne. Przy obwodzie liczysz tylko zewnętrzną krawędź figury. Odcinki wewnętrzne, które dorysowałeś do podziału, nie wchodzą do obwodu.

Przykład

Figura w kształcie litery L ma kolejne zewnętrzne boki długości $6$ , $2$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ . Oblicz jej obwód.

Rozwiązanie

Obwód to suma długości boków leżących na zewnątrz figury.

Dodajemy tylko podane zewnętrzne odcinki.

Liczymy $6+2+2+3+4+5$ .

Suma wynosi $22$ .

Obwód figury wynosi $22$ .

Zapamiętaj

Pole liczy wnętrze figury.

Obwód liczy tylko zewnętrzną krawędź.

Wskazówka

Uwaga: Nie dodawaj odcinków dorysowanych tylko po to, żeby podzielić figurę na prostokąty. One nie leżą na brzegu figury.

04WYJAŚNIENIE

Brakujący odcinek z różnicy długości

W figurach złożonych część odcinków nie jest podpisana. Często można je obliczyć jako różnicę większej i mniejszej długości.

Pokazać, że brakujący odcinek w figurze złożonej często jest różnicą długości całej i znanej części.

Przykład

Duży prostokąt ma szerokość $10$ . W jego górnej części wycięto prostokąt o szerokości $4$ , zaczynający się przy prawej krawędzi. Jaką długość ma pozostały górny odcinek?

Rozwiązanie

Cała szerokość dużego prostokąta wynosi $10$ .

Wycięcie zajmuje $4$ jednostki przy prawej stronie.

Pozostały górny odcinek to różnica $10-4$ .

Liczymy $10-4=6$ .

Brakujący odcinek ma długość $6$ .

Zapamiętaj

W figurach złożonych brakujące poziome odcinki często liczysz z poziomych długości.

Brakujące pionowe odcinki liczysz z pionowych długości.

05WYJAŚNIENIE

Figura z prostokąta i trójkąta

Często figura złożona składa się z prostokąta i trójkąta. Wtedy pole liczysz jako sumę pola prostokąta i pola trójkąta.

Pokazać dodawanie pól prostokąta i trójkąta w figurze złożonej.

$P=8\cdot5+\frac{1}{2}\cdot5\cdot6=55$

Przykład

Figura składa się z prostokąta o wymiarach $8$ i $5$ oraz trójkąta prostokątnego doklejonego do prawego boku prostokąta. Trójkąt ma przyprostokątne $5$ i $6$ . Oblicz pole całej figury.

Rozwiązanie

Pole prostokąta wynosi $8\cdot5=40$ .

Pole trójkąta prostokątnego wynosi $\frac{1}{2}\cdot5\cdot6$ .

Liczymy pole trójkąta: $\frac{1}{2}\cdot5\cdot6=15$ .

Dodajemy pola: $40+15=55$ .

Pole całej figury wynosi $55$ .

06WYJAŚNIENIE

Figura z półkolem

Jeśli w figurze pojawia się półkole, używasz połowy pola koła. Najpierw ustal promień, bo wzór na pole koła używa promienia, nie średnicy.

Prostokąt 10 na 4 z półkolem o średnicy 4 dołączonym do krótszego boku.

$P_{\text{koła}}=\pi r^2$

$P_{\text{półkola}}=\frac{1}{2}\pi r^2$

Przykład

Do prostokąta $10\times4$ doklejono półkole o średnicy $4$ , którego średnica pokrywa się z krótszym bokiem prostokąta. Oblicz pole całej figury.

Rozwiązanie

Pole prostokąta wynosi $10\cdot4=40$ .

Średnica półkola ma długość $4$ , więc promień wynosi $r=2$ .

Pole całego koła o promieniu $2$ wynosi $\pi\cdot2^2=4\pi$ .

Pole półkola wynosi $\frac{1}{2}\cdot4\pi=2\pi$ .

Pole całej figury wynosi $40+2\pi$ .

Pole figury to $40+2\pi$ .

Wskazówka

Uwaga: Nie podstawiaj średnicy jako promienia. Jeśli średnica wynosi $4$ , promień wynosi $2$ .

07WYJAŚNIENIE

Wycięcie koła z kwadratu

Gdy z figury coś wycięto, pole liczysz przez odejmowanie. Przy okręgu wpisanym w kwadrat średnica koła jest równa bokowi kwadratu.

Pokazać odejmowanie pola koła od pola kwadratu i związek średnicy koła z bokiem kwadratu.

Przykład

Z kwadratu o boku $6$ wycięto koło wpisane w ten kwadrat. Oblicz pole pozostałej części.

Rozwiązanie

Pole kwadratu wynosi $6^2=36$ .

Koło wpisane w kwadrat ma średnicę równą bokowi kwadratu, czyli $6$ .

Promień koła wynosi $r=3$ .

Pole koła wynosi $\pi\cdot3^2=9\pi$ .

Pole pozostałej części wynosi $36-9\pi$ .

Po wycięciu koła zostaje pole $36-9\pi$ .

08WYJAŚNIENIE

Gdy potrzebny jest Pitagoras

W figurach złożonych brakujący bok czasem nie wynika z odejmowania, tylko z trójkąta prostokątnego. Wtedy używasz twierdzenia Pitagorasa.

$a^2+b^2=c^2$

Przykład

Figura składa się z prostokąta $6\times4$ i trójkąta prostokątnego doklejonego do jego boku. Przyprostokątne trójkąta mają długości $3$ i $4$ . Oblicz długość skośnego boku trójkąta.

Rozwiązanie

Skośny bok trójkąta jest przeciwprostokątną.

Przyprostokątne mają długości $3$ i $4$ .

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: $3^2+4^2=c^2$ .

Liczymy: $9+16=c^2$ .

Mamy $25=c^2$ .

Ponieważ długość jest dodatnia, $c=5$ .

Skośny bok ma długość $5$ .

Zapamiętaj

Jeśli w obwodzie figury pojawia się skośny bok, często trzeba go obliczyć z Pitagorasa.

Do pola nie zawsze potrzebujesz skośnego boku, ale do obwodu często tak.

09WYJAŚNIENIE

Strategia do zadań z figurami złożonymi

W zadaniach maturalnych najważniejsze jest nie liczyć od razu. Najpierw oznacz części figury i wybierz metodę.

Zaznacz, które fragmenty tworzą znane figury: prostokąt, trójkąt, trapez, koło, półkole.

Ustal, czy liczysz pole, czy obwód.

Dla pola zdecyduj: dodawanie części czy odejmowanie wycięcia.

Dla obwodu przejdź po zewnętrznej krawędzi figury.

Brakujące odcinki licz z różnic długości albo z twierdzenia Pitagorasa.

Na końcu sprawdź jednostkę: pole ma jednostki kwadratowe, obwód zwykłe jednostki długości.

Przykład

Uczeń policzył pole figury jako $12+8+5=25$ , ale jedna z liczb $5$ była długością skośnego boku na obwodzie. Co jest nie tak?

Rozwiązanie

Pole musi być sumą pól, a nie długości.

Liczby $12$ i $8$ mogą być polami części.

Liczba $5$ , jeśli oznacza długość boku, nie może być dodana bezpośrednio do pola.

Trzeba sprawdzić, czy bok $5$ jest potrzebny do obwodu, czy do obliczenia pola jakiejś części.

W geometrii nie wolno mieszać długości i pól w jednym dodawaniu.

Wskazówka

Uwaga: Nie dodawaj długości do pola. Jednostki muszą się zgadzać.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Zadania utrwalające

Z prostokąta $8\times6$ wycięto prostokąt $3\times2$ . Pole pozostałej figury wynosi:

$13$

$36$

$42$

$48$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$42$

Pole dużego prostokąta to $8\cdot6=48$ . Pole wycięcia to $3\cdot2=6$ . Pozostałe pole wynosi $48-6=42$ .

PYTANIE 02

Zadania utrwalające 2

Figura składa się z prostokąta $5\times4$ i trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $4$ i $6$ . Pole figury wynosi:

$20$

$32$

$44$

$48$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$32$

Pole prostokąta to $5\cdot4=20$ . Pole trójkąta to $\frac{1}{2}\cdot4\cdot6=12$ . Razem $20+12=32$ .

PYTANIE 03

Zadania utrwalające 3

Półkole ma średnicę $10$ . Jego promień wynosi:

$2$

$5$

$10$

$20$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$5$

Promień jest połową średnicy, więc $r=\frac{10}{2}=5$ .

PYTANIE 04

Zadania utrwalające 4

Z kwadratu o boku $8$ wycięto koło wpisane. Pole koła wynosi:

$4\pi$

$8\pi$

$16\pi$

$64\pi$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$16\pi$

Koło wpisane ma średnicę $8$ , więc promień $4$ . Pole koła to $\pi\cdot4^2=16\pi$ .

PYTANIE 05

Zadania utrwalające 5

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości $5$ i $12$ . Przeciwprostokątna ma długość:

$7$

$13$

$17$

$60$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$13$

$5^2+12^2=25+144=169$ , więc $c=\sqrt{169}=13$ .

NA KONIEC

Podsumowanie

Figurę złożoną rozkładasz na prostsze figury albo liczysz jako dużą figurę minus wycięcie.

Przy dodawaniu pól dodajesz pola części, nie długości boków.

Przy odejmowaniu pola najpierw liczysz pole dużej figury, potem pole wyciętego fragmentu.

Obwód to tylko zewnętrzna krawędź figury.

Odcinki dorysowane do podziału figury nie wchodzą do obwodu.

Brakujące długości często wynikają z różnicy długości poziomych albo pionowych.

Skośne boki często wymagają twierdzenia Pitagorasa.

Przy kole i półkolu najpierw ustal promień.