Dowody geometryczne na poziomie podstawowym

Dane: $AB=AC$, czyli trójkąt $ABC$ jest równoramienny.

Teza: $\angle ABC=\angle BCA$.

Korzystamy z własności trójkąta równoramiennego.

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.

Podstawą jest bok $BC$, więc kąty przy podstawie to $\angle ABC$ i $\angle BCA$.

Równość ramion daje równość kątów przy podstawie.

W trójkącie $ABC$ suma kątów wynosi $180^\circ$, więc $\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B$.

W trójkącie $DEF$ suma kątów wynosi $180^\circ$, więc $\angle F=180^\circ-\angle D-\angle E$.

Z danych mamy $\angle A=\angle D$ oraz $\angle B=\angle E$.

Odejmujemy więc od $180^\circ$ takie same kąty.

Otrzymujemy $\angle C=\angle F$.

Równość dwóch par kątów wymusza równość trzeciej pary.

Kąt $\angle DAE$ jest tym samym kątem co $\angle BAC$, bo leży przy wierzchołku $A$.

Ponieważ $DE\parallel BC$, kąt $\angle ADE$ jest równy kątowi $\angle ABC$ jako kąt odpowiadający.

Mamy dwie pary równych kątów.

Z cechy kąt-kąt trójkąty $ADE$ i $ABC$ są podobne.

Równoległość odcinka $DE$ do boku $BC$ tworzy mniejszy trójkąt podobny do dużego.

Wysokość $AD$ jest prostopadła do $BC$, więc $\angle ADB=\angle ADC=90^\circ$.

Trójkąty $ABD$ i $ACD$ mają wspólny bok $AD$.

Z danych mamy $AB=AC$.

Trójkąty $ABD$ i $ACD$ są prostokątne, mają równe przeciwprostokątne $AB$ i $AC$ oraz wspólną przyprostokątną $AD$.

Są więc przystające.

Z przystawania wynika równość odpowiadających boków: $BD=DC$.

Wysokość opuszczona z wierzchołka trójkąta równoramiennego dzieli podstawę na połowy.

Niech $ABCD$ będzie równoległobokiem, a $AC$ jego przekątną. Trójkąt $ABC$ ma podstawę $AB$, a trójkąt $ACD$ — podstawę $CD$. Boki $AB$ i $CD$ są równe i równoległe. Wysokości opuszczone na te podstawy są równe odległości między prostymi $AB$ i $CD$, oznaczmy ją przez $h$. Zatem $P_{ABC}=\frac12 AB\cdot h=\frac12 CD\cdot h=P_{ACD}$. Przekątna dzieli więc równoległobok na dwie części o równych polach.

Punkt $C$ leży nad środkiem odcinka $AB$, więc odległości od środka do $A$ i do $B$ są równe.

Wysokość z punktu $C$ do podstawy jest wspólna dla obu trójkątów prostokątnych.

Oba trójkąty prostokątne mają więc takie same przyprostokątne.

Z twierdzenia Pitagorasa przeciwprostokątna w pierwszym trójkącie ma kwadrat równy sumie tych samych dwóch kwadratów.

W drugim trójkącie przeciwprostokątna ma taki sam kwadrat.

Długości są dodatnie, więc $AC=BC$.

Punkt leżący nad środkiem podstawy i na prostopadłej do niej jest równo oddalony od końców podstawy.

Ponieważ $DE\parallel BC$, odpowiednie kąty przy prostych równoległych są równe.

Kąt przy wierzchołku $A$ jest wspólny dla trójkątów $ADE$ i $ABC$.

Zatem trójkąty $ADE$ i $ABC$ są podobne z cechy kąt-kąt.

W podobnych trójkątach odpowiadające boki są proporcjonalne.

Bokowi $AD$ odpowiada $AB$, a bokowi $AE$ odpowiada $AC$.

Stąd $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.

Proporcja nie pojawia się z samego rysunku. Wynika z podobieństwa trójkątów.

Sam wygląd rysunku nie jest dowodem.

Trzeba wskazać, które kąty są równe albo które boki są proporcjonalne.

Poprawnie można napisać: „Ponieważ $DE\parallel BC$, kąty odpowiadające są równe. Kąt przy $A$ jest wspólny, więc trójkąty są podobne z cechy kąt-kąt”.

Dowód powinien mówić, z czego wynika podobieństwo, a nie tylko je ogłaszać.