Trygonometria w figurach płaskich - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się używać trygonometrii nie tylko w samym trójkącie prostokątnym, ale też w prostokątach, rombach, trapezach i trójkątach, w których trzeba dorysować wysokość.

Plan tej lekcji

Najpierw przypomnisz sobie, jak wybrać sinus, cosinus albo tangens.

Potem nauczysz się wyciągać z figury trójkąt prostokątny.

Następnie obliczysz wysokość figury z kąta.

Potem użyjesz wzoru na pole trójkąta z sinusem kąta.

Na końcu rozwiążesz krótkie zadania zamknięte podobne do maturalnych.

Na start

W zadaniach geometrycznych trygonometria najczęściej zaczyna się od dorysowania wysokości albo przekątnej.

Zanim użyjesz wzoru, nazwij boki względem danego kąta.

Po tej lekcji:

Po tej lekcji uczeń umie używać sinusa, cosinusa i tangensa do obliczania długości, kątów, wysokości i pól w figurach płaskich.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Najpierw znajdź trójkąt prostokątny

Sinus, cosinus i tangens w zadaniach podstawowych najczęściej stosujesz w trójkącie prostokątnym. Jeśli figura nie jest trójkątem prostokątnym, często trzeba dorysować wysokość, przekątną albo promień.

Pokazać, że przekątna prostokąta tworzy trójkąt prostokątny, w którym można użyć trygonometrii.

Szukaj kąta prostego zaznaczonego w treści albo na rysunku.

Jeśli go nie ma, sprawdź, czy można dorysować wysokość.

Jeśli jest prostokąt albo kwadrat, przekątna dzieli go na dwa trójkąty prostokątne.

Jeśli jest romb lub równoległobok, wysokość tworzy trójkąt prostokątny przy boku.

Dopiero po znalezieniu trójkąta prostokątnego wybieraj sinus, cosinus albo tangens.

Przykład

W prostokącie przekątna ma długość $10$ , a kąt między przekątną i dłuższym bokiem wynosi $30^\circ$ . Jaką figurę warto rozpatrzyć?

Rozwiązanie

Prostokąt nie jest trójkątem, ale jego przekątna dzieli go na dwa trójkąty.

Każdy z tych trójkątów jest prostokątny, bo kąty prostokąta mają po $90^\circ$ .

Przekątna prostokąta jest przeciwprostokątną tego trójkąta.

Kąt $30^\circ$ leży między przekątną i jednym bokiem prostokąta.

Do obliczeń trygonometrycznych bierzemy trójkąt prostokątny utworzony przez przekątną i dwa boki prostokąta.

Zapamiętaj

Trygonometria w figurach płaskich zwykle działa na „ukrytym” trójkącie prostokątnym.

02WYJAŚNIENIE

Którą funkcję wybrać?

Wybór funkcji zależy od tego, które boki znasz i którego boku szukasz względem danego kąta ostrego.

$\sin \alpha=\frac{\text{przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}}$

$\cos \alpha=\frac{\text{przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}}$

$\tg \alpha=\frac{\text{przeciwległa}}{\text{przyległa}}$

Przykład

W trójkącie prostokątnym kąt ostry ma miarę $30^\circ$ , przeciwprostokątna ma długość $12$ , a szukamy boku leżącego naprzeciw kąta $30^\circ$ . Której funkcji użyć?

Rozwiązanie

Bok znany to przeciwprostokątna.

Bok szukany leży naprzeciw kąta $30^\circ$ , więc jest bokiem przeciwległym.

Funkcja łącząca bok przeciwległy i przeciwprostokątną to sinus.

Zapisujemy $\sin 30^\circ=\frac{x}{12}$ .

Wybieramy sinus, bo w zadaniu występuje bok przeciwległy do kąta i przeciwprostokątna.

Zapamiętaj

Sinus: przeciwległa i przeciwprostokątna.

Cosinus: przyległa i przeciwprostokątna.

Tangens: przeciwległa i przyległa.

Wskazówka

Uwaga: Ten sam bok może być „przeciwległy” albo „przyległy” w zależności od tego, który kąt bierzesz pod uwagę.

03WYJAŚNIENIE

Bok prostokąta z przekątnej i kąta

Przekątna prostokąta ma długość dziesięć i tworzy z jednym bokiem kąt trzydzieści stopni. Obliczymy długość boku leżącego naprzeciw tego kąta, korzystając z sinusa.

$\sin 30^\circ=\frac{x}{10}$

$x=5$

Przykład

Przekątna prostokąta ma długość $10$ . Kąt między przekątną a dłuższym bokiem ma miarę $30^\circ$ . Oblicz krótszy bok prostokąta.

Rozwiązanie

Przekątna prostokąta jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego.

Krótszy bok prostokąta leży naprzeciw kąta $30^\circ$ .

Używamy sinusa: $\sin 30^\circ=\frac{x}{10}$ .

Wiemy, że $\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$ .

Podstawiamy: $\frac{1}{2}=\frac{x}{10}$ .

Mnożymy przez $10$ : $x=5$ .

Krótszy bok prostokąta ma długość $5$ .

Wskazówka

Jeśli w prostokącie pojawia się przekątna, prawie zawsze warto od razu zaznaczyć trójkąt prostokątny.

04WYJAŚNIENIE

Wysokość trójkąta z sinusa

W trójkącie, który nie jest prostokątny, wysokość często tworzy trójkąt prostokątny. Dzięki temu można obliczyć pole.

Pokazać, że wysokość w trójkącie można obliczyć z sinusa kąta przy podstawie.

Przykład

W trójkącie bok $AB$ ma długość $12$ , bok $AC$ ma długość $10$ , a kąt między nimi ma miarę $30^\circ$ . Oblicz wysokość opuszczoną z punktu $C$ na bok $AB$ .

Rozwiązanie

Oznaczmy wysokość opuszczoną z $C$ na $AB$ przez $h$ .

Wysokość tworzy trójkąt prostokątny.

W tym trójkącie bok $AC=10$ jest przeciwprostokątną.

Wysokość $h$ leży naprzeciw kąta $30^\circ$ .

Używamy sinusa: $\sin 30^\circ=\frac{h}{10}$ .

Ponieważ $\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$ , mamy $\frac{1}{2}=\frac{h}{10}$ .

Mnożymy przez $10$ : $h=5$ .

Wysokość trójkąta opuszczona na bok $AB$ ma długość $5$ .

Zapamiętaj

Wysokość często jest bokiem przeciwległym do danego kąta.

Jeśli znasz bok skośny i kąt przy podstawie, zwykle pojawia się sinus.

05WYJAŚNIENIE

Pole trójkąta z sinusem kąta

Jeśli znasz dwa boki trójkąta i kąt między nimi, nie musisz osobno liczyć wysokości. Możesz użyć wzoru z sinusem kąta.

W tym wzorze $a$ i $b$ to dwa boki trójkąta, a $\gamma$ to kąt między nimi.

Pokazać, że we wzorze P=ułamek{1}{2}ab\sin\gamma kąt musi leżeć między podanymi bokami.

$P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma$

Przykład

Oblicz pole trójkąta, w którym dwa boki mają długości $8$ i $6$ , a kąt między nimi ma miarę $30^\circ$ .

Rozwiązanie

Dane są dwa boki: $a=8$ , $b=6$ .

Kąt między nimi wynosi $\gamma=30^\circ$ .

Korzystamy ze wzoru $P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma$ .

Podstawiamy: $P=\frac{1}{2}\cdot8\cdot6\cdot\sin30^\circ$ .

Wiemy, że $\sin30^\circ=\frac{1}{2}$ .

Liczymy: $P=\frac{1}{2}\cdot8\cdot6\cdot\frac{1}{2}=12$ .

Pole trójkąta wynosi $12$ .

Wskazówka

Uwaga: Wzór $P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma$ działa wtedy, gdy $\gamma$ jest kątem między bokami $a$ i $b$ .

06WYJAŚNIENIE

Pole równoległoboku z sinusem kąta

Równoległobok można potraktować jak dwa takie same trójkąty albo użyć wysokości. Jeśli znasz dwa sąsiednie boki i kąt między nimi, pole równoległoboku liczymy przez sinus.

$P=ab\sin\alpha$

Przykład

Równoległobok ma sąsiednie boki długości $10$ i $7$ , a kąt między nimi wynosi $60^\circ$ . Oblicz jego pole.

Rozwiązanie

Dane są dwa sąsiednie boki: $a=10$ , $b=7$ .

Kąt między nimi wynosi $\alpha=60^\circ$ .

Korzystamy ze wzoru $P=ab\sin\alpha$ .

Podstawiamy: $P=10\cdot7\cdot\sin60^\circ$ .

Wiemy, że $\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Liczymy: $P=70\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=35\sqrt{3}$ .

Pole równoległoboku wynosi $35\sqrt{3}$ .

Zapamiętaj

Dla trójkąta jest $\frac{1}{2}ab\sin\alpha$ .

Dla równoległoboku jest $ab\sin\alpha$ .

W obu przypadkach kąt musi być między podanymi bokami.

07WYJAŚNIENIE

Romb i jego wysokość

Romb ma wszystkie boki równe. Jeśli znamy bok i kąt, wysokość rombu można obliczyć z sinusa, a potem pole jako bok razy wysokość.

Pokazać, że wysokość rombu można obliczyć jako bok razy sinus kąta.

Przykład

Romb ma bok długości $12$ , a jeden z jego kątów ma miarę $30^\circ$ . Oblicz wysokość rombu i jego pole.

Rozwiązanie

Wysokość rombu tworzy trójkąt prostokątny.

Bok rombu długości $12$ jest przeciwprostokątną tego trójkąta.

Wysokość leży naprzeciw kąta $30^\circ$ .

Liczymy wysokość: $\sin30^\circ=\frac{h}{12}$ .

Ponieważ $\sin30^\circ=\frac{1}{2}$ , mamy $\frac{1}{2}=\frac{h}{12}$ .

Stąd $h=6$ .

Pole rombu to bok razy wysokość: $P=12\cdot6=72$ .

Wysokość rombu wynosi $6$ , a pole wynosi $72$ .

Wskazówka

Dla rombu możesz też użyć od razu wzoru $P=a^2\sin\alpha$ , bo oba sąsiednie boki mają tę samą długość $a$ .

08WYJAŚNIENIE

Tangens przy nachyleniu i wysokości

Tangens łączy wysokość i odległość poziomą. Używasz go wtedy, gdy znasz kąt nachylenia i jeden z boków przyprostokątnych.

$\tg \alpha=\frac{\text{przeciwległa}}{\text{przyległa}}$

Przykład

Drabina opiera się o ścianę. Jej dolny koniec jest oddalony od ściany o $3$ m, a kąt między drabiną i podłożem wynosi $60^\circ$ . Na jakiej wysokości drabina opiera się o ścianę?

Rozwiązanie

Tworzy się trójkąt prostokątny: ściana jest pionowa, podłoże poziome.

Szukana wysokość jest bokiem przeciwległym do kąta $60^\circ$ .

Odległość od ściany $3$ m jest bokiem przyległym do kąta $60^\circ$ .

Używamy tangensa: $\tg60^\circ=\frac{h}{3}$ .

Wiemy, że $\tg60^\circ=\sqrt{3}$ .

Mamy $\sqrt{3}=\frac{h}{3}$ .

Mnożymy przez $3$ : $h=3\sqrt{3}$ .

Drabina opiera się o ścianę na wysokości $3\sqrt{3}$ m.

Wskazówka

Uwaga: Jeśli znasz dwie przyprostokątne albo szukasz jednej z nich, tangens często jest prostszy niż sinus i cosinus.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Zadania utrwalające

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość $10$ , a kąt ostry ma miarę $30^\circ$ . Bok naprzeciw tego kąta ma długość:

$3$

$5$

$5\sqrt{3}$

$10\sqrt{3}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$5$

$\sin30^\circ=\frac{x}{10}$ , więc $\frac{1}{2}=\frac{x}{10}$ . Stąd $x=5$ .

PYTANIE 02

Zadania utrwalające 2

Pole trójkąta o bokach $6$ i $8$ oraz kącie $30^\circ$ między nimi wynosi:

$12$

$24$

$48$

$96$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$12$

$P=\frac{1}{2}\cdot6\cdot8\cdot\sin30^\circ=\frac{1}{2}\cdot6\cdot8\cdot\frac{1}{2}=12$ .

PYTANIE 03

Zadania utrwalające 3

Równoległobok ma boki $5$ i $10$ , a kąt między nimi wynosi $60^\circ$ . Jego pole wynosi:

$25$

$50$

$25\sqrt{3}$

$50\sqrt{3}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$25\sqrt{3}$

$P=ab\sin\alpha=5\cdot10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}$ .

PYTANIE 04

Zadania utrwalające 4

Romb ma bok $8$ i kąt $30^\circ$ . Jego wysokość opuszczona na bok wynosi:

$2$

$4$

$4\sqrt{3}$

$8\sqrt{3}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$4$

$h=8\sin30^\circ=8\cdot\frac{1}{2}=4$ .

PYTANIE 05

Zadania utrwalające 5

W trójkącie prostokątnym względem kąta $\alpha$ znamy bok przeciwległy i bok przyległy. Która funkcja łączy te dwa boki?

$\sin\alpha$

$\cos\alpha$

$\tg\alpha$

żadna z nich

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$\tg\alpha$

$\tg\alpha=\frac{\text{przeciwległa}}{\text{przyległa}}$ .

NA KONIEC

Podsumowanie

W figurach płaskich najpierw szukaj trójkąta prostokątnego.

Przekątna prostokąta tworzy trójkąt prostokątny.

Wysokość trójkąta, rombu albo równoległoboku często tworzy trójkąt prostokątny.

Sinus łączy bok przeciwległy i przeciwprostokątną.

Cosinus łączy bok przyległy i przeciwprostokątną.

Tangens łączy bok przeciwległy i przyległy.

Pole trójkąta z dwoma bokami i kątem między nimi liczymy ze wzoru $P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma$ .

Pole równoległoboku z dwoma bokami i kątem między nimi liczymy ze wzoru $P=ab\sin\alpha$ .

Najczęstsza pułapka to użycie kąta, który nie leży między bokami we wzorze na pole.