Modelowanie wzrostu i spadku funkcją wykładniczą

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się rozpoznawać sytuacje, w których wielkość zmienia się przez powtarzane mnożenie. Zapiszesz wzór dla wzrostu i spadku wykładniczego oraz zamienisz procent zmiany na mnożnik.

Na start

Model wykładniczy opisuje powtarzane mnożenie.

Stały procent zmiany daje model wykładniczy.

Mnożnik jednego kroku jest podstawą potęgi.

Po tej lekcji:

rozpoznajesz powtarzane mnożenie
zapisujesz model P(t)=P_0\cdot a^t
zamieniasz procent zmiany na mnożnik

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Wzrost wykładniczy to mnożenie

Jeśli wielkość co krok mnoży się przez tę samą liczbę, mamy zmianę wykładniczą. Podwajanie oznacza mnożenie przez $2$ w każdym kroku.

Ciąg wartości sto, dwieście, czterysta, osiemset z mnożeniem razy dwa w każdym kroku.

Trzy podwojenia

Pewna wielkość zaczyna od $100$ i w każdym kroku się podwaja. Ile wynosi po $3$ krokach?

Rozwiązanie

Po pierwszym kroku mamy $100\cdot2=200$ . Po drugim $400$ . Po trzecim $800$ . Krócej: $100\cdot2^3=800$ .

02WYJAŚNIENIE

Wzór modelu wykładniczego

Jeśli wartość początkowa wynosi $P_0$ , a w każdym kroku mnożymy przez $a$ , to po $t$ krokach wartość wynosi $P_0\cdot a^t$ . Jeśli model opisuje zmiany po pełnych miesiącach, podstawiamy nieujemne całkowite $t$ . Ciągłe wartości czasu mają sens dopiero wtedy, gdy zadanie zakłada zmianę także wewnątrz okresu.

$P(t)=P_0\cdot a^t$

$P_0$ to wartość początkowa.

$a$ to mnożnik jednego kroku.

$t$ to liczba kroków.

Użytkownicy aplikacji

Liczba użytkowników wynosi $500$ i co miesiąc się podwaja. Zapisz wzór po $t$ miesiącach.

Rozwiązanie

Wartość początkowa to $P_0=500$ . Podwajanie daje mnożnik $a=2$ . Wzór: $P(t)=500\cdot2^t$ .

Zapamiętaj

Wartość początkowa stoi przed potęgą.

Mnożnik jednego kroku jest podstawą potęgi.

03WYJAŚNIENIE

Procent zmiany zamienia się na mnożnik

Wzrost procentowy daje mnożnik większy od $1$ . Spadek procentowy daje mnożnik między $0$ a $1$ .

Schemat zamiany wzrostu i spadku procentowego na mnożniki w modelu wykładniczym.

Wzrost o $p\%$ : $a=1+\frac{p}{100}$

Spadek o $p\%$ : $a=1-\frac{p}{100}$

Wzrost o procent

Kwota $1000$ zł rośnie co rok o $20\%$ . Zapisz wzór po $t$ latach.

Rozwiązanie

Wzrost o $20\%$ oznacza mnożnik $1{,}2$ . Wzór: $K(t)=1000\cdot1{,}2^t$ .

Wskazówka

Wzrostu o $20\%$ nie zapisujemy jako mnożenia przez $20$ . Poprawny mnożnik to $1{,}2$ .

04WYJAŚNIENIE

Spadek procentowy: zostaje część wartości

Spadek o $30\%$ oznacza, że zostaje $70\%$ poprzedniej wartości, czyli mnożnik $0{,}7$ .

$a=1-\frac{30}{100}=0{,}7$

Sprzęt traci wartość

Sprzęt kosztuje $4000$ zł i co rok traci $25\%$ wartości. Zapisz wzór po $t$ latach.

Rozwiązanie

Po spadku zostaje $75\%$ wartości, więc mnożnik to $0{,}75$ . Wzór: $W(t)=4000\cdot0{,}75^t$ .

Wskazówka

W spadku procentowym nie odejmujesz co okres tej samej kwoty. Liczysz procent od aktualnej wartości.

05WYJAŚNIENIE

Obliczanie wartości po kilku okresach

Gdy masz wzór, podstawiasz liczbę okresów w miejsce $t$ . Potęga mówi, ile razy zastosować ten sam mnożnik.

Kwota po trzech latach

Kwota $2000$ zł rośnie co rok o $10\%$ . Ile wynosi po $3$ latach?

Rozwiązanie

Mnożnik to $1{,}1$ . Liczymy $K(3)=2000\cdot1{,}1^3$ . Ponieważ $1{,}1^3=1{,}331$ , dostajemy $K(3)=2662$ zł.

Wskazówka

Nie mnoż procentu przez liczbę lat, jeśli zmiana powtarza się co rok. Najpierw znajdź mnożnik, potem potęguj.

06WYJAŚNIENIE

Jak rozpoznać model wykładniczy?

Model wykładniczy pojawia się wtedy, gdy w każdym kroku wielkość jest mnożona przez ten sam czynnik. W treści szukaj słów: podwaja się, potraja się, maleje o procent, rośnie o procent, zostaje połowa.

Podwaja się: mnożnik $2$ .

Zostaje połowa: mnożnik $\frac{1}{2}$ .

Rośnie o $p\%$ : $1+\frac{p}{100}$ .

Maleje o $p\%$ : $1-\frac{p}{100}$ .

Bakterie rosną o procent

Liczba bakterii rośnie co godzinę o $50\%$ . Jaki jest mnożnik?

Rozwiązanie

Po wzroście zostaje $150\%$ poprzedniej wartości. To znaczy, że mnożnik wynosi $1{,}5$ .

Wskazówka

Model wykładniczy nie znaczy po prostu, że coś mocno rośnie. Chodzi o stałe mnożenie w każdym kroku.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Wielkość początkowa wynosi $300$ i co krok jest mnożona przez $4$ . Wzór modelu to:

$P(t)=300+4t$

$P(t)=4\cdot300^t$

$P(t)=300\cdot4^t$

$P(t)=300t^4$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$P(t)=300\cdot4^t$

Wartość początkowa to $300$ , a stały mnożnik to $4$ , więc $P(t)=300\cdot4^t$ .

PYTANIE 02

Wzrost o $15\%$ odpowiada mnożnikowi:

$0{,}15$

$1{,}15$

$15$

$1{,}5$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$1{,}15$

Po wzroście zostaje $115\%$ wartości, czyli mnożnik $1{,}15$ .

PYTANIE 03

Spadek o $40\%$ odpowiada mnożnikowi:

$0{,}4$

$0{,}6$

$1{,}4$

$40$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$0{,}6$

Po spadku o $40\%$ zostaje $60\%$ wartości, czyli $0{,}6$ .

PYTANIE 04

Kwota $1000$ zł rośnie co rok o $10\%$ . Po $2$ latach wynosi:

$1100$ zł

$1200$ zł

$1210$ zł

$2000$ zł

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$1210$ zł

$1000\cdot1{,}1^2=1000\cdot1{,}21=1210$ .

NA KONIEC

Co zapamiętać o modelowaniu?

Model wykładniczy opisuje zmianę przez powtarzane mnożenie. Ma postać $P(t)=P_0\cdot a^t$ , gdzie $P_0$ to wartość początkowa, $a$ to mnożnik jednego okresu, a $t$ to liczba okresów.

Zapamiętaj

Wzrost procentowy daje mnożnik większy od $1$ .

Spadek procentowy daje mnożnik między $0$ a $1$ .

Najpierw zamień procent na mnożnik, potem potęguj.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Wzrost wykładniczy to mnożenie

Wzór modelu wykładniczego

Procent zmiany zamienia się na mnożnik

Spadek procentowy: zostaje część wartości

Obliczanie wartości po kilku okresach

Jak rozpoznać model wykładniczy?

Teraz Twoja kolej

Wielkość początkowa wynosi 300300300 i co krok jest mnożona przez 444. Wzór modelu to:

Wzrost o 15%15\%15% odpowiada mnożnikowi:

Spadek o 40%40\%40% odpowiada mnożnikowi:

Kwota 100010001000 zł rośnie co rok o 10%10\%10%. Po 222 latach wynosi:

Co zapamiętać o modelowaniu?

Wielkość początkowa wynosi $300$ i co krok jest mnożona przez $4$ . Wzór modelu to:

Wzrost o $15\%$ odpowiada mnożnikowi:

Spadek o $40\%$ odpowiada mnożnikowi:

Kwota $1000$ zł rośnie co rok o $10\%$ . Po $2$ latach wynosi: