Funkcja wykładnicza w zadaniach praktycznych

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Przećwiczysz funkcję wykładniczą w zadaniach z treścią. Będziesz zamieniać zdania o kapitale, populacji, spadku wartości i połowieniu na wzór, a potem obliczać konkretny wynik.

Na start

Znajdź wartość początkową.

Znajdź mnożnik jednego okresu.

Podstaw liczbę okresów.

Po tej lekcji:

stosujesz model wykładniczy w zadaniach tekstowych
liczysz wzrost i spadek po kilku okresach
sprawdzasz sens wyniku

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Kapitał rosnący procentowo

Jeśli kapitał rośnie co rok o ten sam procent, odsetki w kolejnym roku liczą się już od powiększonej kwoty. Dlatego używamy potęgi.

Kapitał pięć tysięcy rosnący przez dwa lata przez mnożenie razy jeden przecinek zero cztery.

$K(t)=K_0\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^t$

Oprocentowanie roczne

Wpłacono $5000$ zł przy stałym oprocentowaniu $4\%$ rocznie i kapitalizacji rocznej. Bez dalszych wpłat, wypłat, podatków i opłat, ile wyniesie kwota po dwóch latach?

Rozwiązanie

Mnożnik roczny to $1{,}04$ . Liczymy $K(2)=5000\cdot1{,}04^2$ . Ponieważ $1{,}04^2=1{,}0816$ , mamy $K(2)=5408$ zł.

02WYJAŚNIENIE

Spadek wartości sprzętu

Jeśli sprzęt co rok traci ten sam procent wartości, nie odejmujemy co roku tej samej kwoty. Mnożymy aktualną wartość przez procent, który zostaje.

$W(t)=W_0\cdot\left(1-\frac{p}{100}\right)^t$

Laptop po trzech latach

Laptop kosztuje $6000$ zł i co rok traci $20\%$ wartości. Ile jest wart po $3$ latach?

Rozwiązanie

Po każdym roku zostaje $80\%$ , czyli mnożnik $0{,}8$ . Liczymy $W(3)=6000\cdot0{,}8^3=6000\cdot0{,}512=3072$ zł.

Wskazówka

Nie odejmuj trzy razy procentu od ceny początkowej. Procent liczy się od aktualnej wartości.

03WYJAŚNIENIE

Populacja, która się podwaja

Podwajanie to najprostszy wzrost wykładniczy. Jeśli populacja podwaja się w każdym okresie, mnożnik wynosi $2$ .

$P(t)=P_0\cdot2^t$

Komórki po czterech godzinach

Liczba komórek wynosi $250$ i podwaja się co godzinę. Ile komórek będzie po $4$ godzinach?

Rozwiązanie

Model to $P(t)=250\cdot2^t$ . Liczymy $P(4)=250\cdot2^4=250\cdot16=4000$ .

Zapamiętaj

Podwaja się: $2^t$ .

Potraja się: $3^t$ .

Zostaje połowa: $\left(\frac{1}{2}\right)^t$ .

04WYJAŚNIENIE

Zmniejszanie o połowę

Jeśli w każdym okresie zostaje połowa wartości, model ma podstawę $\frac{1}{2}$ . To spadek wykładniczy, bo mnożnik leży między $0$ a $1$ .

Ciąg wartości osiemdziesiąt, czterdzieści, dwadzieścia, dziesięć pokazujący branie połowy.

Połowienie substancji

W próbce jest $80$ jednostek substancji. Co godzinę zostaje połowa. Ile zostanie po $3$ godzinach?

Rozwiązanie

Model to $A(t)=80\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^t$ . Liczymy $A(3)=80\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3=80\cdot\frac{1}{8}=10$ .

05WYJAŚNIENIE

Porównanie dwóch modeli

Gdy porównujesz dwa modele, dla tej samej liczby okresów liczysz obie wartości i dopiero potem porównujesz wyniki.

Rocznie czy jednorazowo?

Oferta A daje wzrost kwoty $1000$ zł o $10\%$ rocznie. Oferta B daje wzrost o $20\%$ jednorazowo po $2$ latach. Która kwota jest większa?

Rozwiązanie

Oferta A: $1000\cdot1{,}1^2=1210$ . Oferta B: $1000\cdot1{,}2=1200$ . Większa jest kwota z oferty A.

Wskazówka

Słowo rocznie oznacza powtarzanie mnożnika. Słowo jednorazowo oznacza jedno mnożenie.

06WYJAŚNIENIE

Sprawdzanie sensu wyniku

Po obliczeniu sprawdź, czy wynik pasuje do rodzaju zmiany. Przy wzroście powinien być większy od początkowego, przy spadku mniejszy.

$a>1$ po dodatniej liczbie okresów daje wzrost.

$0<a<1$ po dodatniej liczbie okresów daje spadek.

Wynik w zadaniu praktycznym powinien mieć jednostkę.

Wynik niepasujący do spadku

Uczeń po spadku o $10\%$ z $500$ zł otrzymał $550$ zł. Czy wynik ma sens?

Rozwiązanie

Spadek o $10\%$ oznacza mnożnik $0{,}9$ . Poprawnie $500\cdot0{,}9=450$ zł. Wynik $550$ pasuje do wzrostu, nie do spadku.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Samochód wart $50000$ zł traci co rok $10\%$ wartości. Po $2$ latach opisuje go wyrażenie:

$50000\cdot0{,}9^2$

$50000\cdot1{,}1^2$

$50000-2\cdot10$

$50000\cdot0{,}1^2$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$50000\cdot0{,}9^2$

Mnożnik spadku to $0{,}9$ . Po $2$ latach używamy potęgi $2$ : $50000\cdot0{,}9^2$ .

PYTANIE 02

Liczba bakterii wynosi $100$ i potraja się co godzinę. Po $3$ godzinach będzie:

$300$

$900$

$2700$

$3000$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$2700$

$100\cdot3^3=100\cdot27=2700$ .

PYTANIE 03

Kwota $2000$ zł rośnie o $5\%$ rocznie. Mnożnik jednego roku wynosi:

$0{,}05$

$0{,}95$

$1{,}05$

$5$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$1{,}05$

Po wzroście o $5\%$ zostaje $105\%$ wartości, czyli $1{,}05$ .

PYTANIE 04

W próbce są $64$ jednostki substancji. Co godzinę zostaje połowa. Po $2$ godzinach zostanie:

$16$

$32$

$48$

$128$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$16$

$64\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2=64\cdot\frac{1}{4}=16$ .

PYTANIE 05

Który model opisuje spadek wykładniczy?

Spadek wykładniczy ma mnożnik między $0$ a $1$ .

$P(t)=100\cdot1{,}3^t$

$P(t)=100\cdot0{,}8^t$

$P(t)=100+8t$

$P(t)=100t$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$P(t)=100\cdot0{,}8^t$

Mnożnik $0{,}8$ leży między $0$ a $1$ , więc model opisuje spadek wykładniczy.

NA KONIEC

Co zapamiętać z zadań praktycznych?

W zadaniach praktycznych najpierw znajdź wartość początkową, mnożnik jednego okresu i liczbę okresów. Potem podstaw dane do modelu wykładniczego i sprawdź, czy wynik pasuje do wzrostu albo spadku.

Zapamiętaj

Wzrost o $p\%$ : $1+\frac{p}{100}$ .

Spadek o $p\%$ : $1-\frac{p}{100}$ .

Podwajanie daje $2^t$ , potrajanie daje $3^t$ .

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Kapitał rosnący procentowo

Spadek wartości sprzętu

Populacja, która się podwaja

Zmniejszanie o połowę

Porównanie dwóch modeli

Sprawdzanie sensu wyniku

Teraz Twoja kolej

Samochód wart 500005000050000 zł traci co rok 10%10\%10% wartości. Po 222 latach opisuje go wyrażenie:

Liczba bakterii wynosi 100100100 i potraja się co godzinę. Po 333 godzinach będzie:

Kwota 200020002000 zł rośnie o 5%5\%5% rocznie. Mnożnik jednego roku wynosi:

W próbce są 646464 jednostki substancji. Co godzinę zostaje połowa. Po 222 godzinach zostanie:

Który model opisuje spadek wykładniczy?

Co zapamiętać z zadań praktycznych?

Samochód wart $50000$ zł traci co rok $10\%$ wartości. Po $2$ latach opisuje go wyrażenie:

Liczba bakterii wynosi $100$ i potraja się co godzinę. Po $3$ godzinach będzie:

Kwota $2000$ zł rośnie o $5\%$ rocznie. Mnożnik jednego roku wynosi:

W próbce są $64$ jednostki substancji. Co godzinę zostaje połowa. Po $2$ godzinach zostanie: