Wykres i własności funkcji wykładniczej

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się rozpoznawać funkcję wykładniczą po wzorze i po wykresie. Zobaczysz, dlaczego wykres zawsze przechodzi przez punkt $(0,1)$ , kiedy funkcja rośnie, kiedy maleje i jakie ma podstawowe własności.

Na start

W funkcji wykładniczej zmienna jest w wykładniku.

Podstawa decyduje o wzroście albo spadku.

Wartości funkcji wykładniczej są dodatnie.

Po tej lekcji:

rozpoznajesz funkcję wykładniczą po wzorze
odczytujesz podstawowe własności wykresu
odróżniasz wzrost od spadku wykładniczego

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Zmienna jest w wykładniku

Funkcja wykładnicza ma postać $f(x)=a^x$ . Liczba $a$ jest podstawą potęgi, a zmienna $x$ stoi w wykładniku.

$f(x)=a^x$

$a>0$ i $a\ne1$ .

Zmienna występuje w wykładniku potęgi.

Który wzór jest wykładniczy?

Wskaż funkcję wykładniczą spośród wzorów $f(x)=2^x$ , $g(x)=x^2$ , $h(x)=3x+1$ .

Rozwiązanie

Funkcją wykładniczą jest $f(x)=2^x$ , bo zmienna $x$ stoi w wykładniku. W zapisie $x^2$ zmienna jest w podstawie, więc to nie jest funkcja wykładnicza.

Wskazówka

Sama obecność potęgi nie wystarcza. Liczy się miejsce zmiennej.

02WYJAŚNIENIE

Wartości $2^x$ rosną przez mnożenie

Dla funkcji $f(x)=2^x$ każdy krok o $1$ w prawo mnoży wartość przez $2$ . Dlatego wykres szybko odrywa się od osi $x$ .

Rosnący wykres funkcji dwa do x z zaznaczonymi punktami zero jeden, jeden dwa i dwa cztery.

$2^{-2}=\frac{1}{4}$ , $2^{-1}=\frac{1}{2}$ , $2^0=1$

$2^1=2$ , $2^2=4$ , $2^3=8$

Kolejne wartości funkcji

Oblicz wartości funkcji $f(x)=2^x$ dla $x=0,1,2,3$ .

Rozwiązanie

$f(0)=1$ , $f(1)=2$ , $f(2)=4$ , $f(3)=8$ . Przy każdym kroku w prawo wartość się podwaja.

03WYJAŚNIENIE

Każdy wykres przechodzi przez $(0,1)$

Dla każdej dodatniej podstawy mamy $a^0=1$ . To znaczy, że dla argumentu $0$ wartość funkcji wynosi $1$ .

$f(0)=a^0=1$

$(0,1)$ leży na wykresie $f(x)=a^x$ .

Punkt przecięcia z osią y

Przez jaki punkt na osi $y$ przechodzi wykres $f(x)=5^x$ ?

Rozwiązanie

Na osi $y$ mamy $x=0$ . Liczymy $f(0)=5^0=1$ , więc punkt to $(0,1)$ .

Zapamiętaj

Funkcja wykładnicza nie przecina osi $x$ , bo jej wartości są dodatnie.

04WYJAŚNIENIE

Podstawa decyduje o kierunku

Jeśli podstawa jest większa od $1$ , funkcja rośnie. Jeśli podstawa leży między $0$ a $1$ , funkcja maleje.

Porównanie rosnącej funkcji dwa do x i malejącej funkcji jedna druga do x.

$a>1\Rightarrow a^x\ \text{rośnie}$

$0<a<1\Rightarrow a^x\ \text{maleje}$

Decyzja z podstawy

Określ monotoniczność funkcji $f(x)=3^x$ i $g(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ .

Rozwiązanie

Dla $f$ podstawa $3$ jest większa od $1$ , więc funkcja rośnie. Dla $g$ podstawa $\frac{1}{2}$ leży między $0$ a $1$ , więc funkcja maleje.

Wskazówka

Najpierw patrz na podstawę, a dopiero potem na wygląd wykresu.

05WYJAŚNIENIE

Dziedzina i zbiór wartości

Do wykładnika można podstawić każdą liczbę rzeczywistą. Wynik potęgowania dodatniej podstawy zawsze jest dodatni, więc wykres leży nad osią $x$ .

$D_f=\mathbb{R}$

$W_f=(0,\infty)$

Funkcja wykładnicza nie ma miejsc zerowych.

Własności funkcji 4^x

Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji $f(x)=4^x$ .

Rozwiązanie

To funkcja wykładnicza z dodatnią podstawą różną od $1$ . Dziedzina to $\mathbb{R}$ , a zbiór wartości to $(0,\infty)$ .

Wskazówka

Nie dopisuj $0$ do zbioru wartości. Wykres zbliża się do osi, ale jej nie osiąga.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Który wzór opisuje funkcję wykładniczą?

$f(x)=x^3$

$f(x)=3x$

$f(x)=3^x$

$f(x)=x+3$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$f(x)=3^x$

W funkcji wykładniczej zmienna jest w wykładniku. Tak jest we wzorze $3^x$ .

PYTANIE 02

Wykres funkcji $f(x)=7^x$ przechodzi przez punkt:

$(0,1)$

$(1,0)$

$(0,7)$

$(7,0)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$(0,1)$

$f(0)=7^0=1$ , więc wykres przechodzi przez $(0,1)$ .

PYTANIE 03

Funkcja $f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^x$ jest:

rosnąca

malejąca

stała

określona tylko dla dodatnich argumentów

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

malejąca

Podstawa $\frac{1}{3}$ leży między $0$ a $1$ , więc funkcja jest malejąca.

PYTANIE 04

Zbiorem wartości funkcji $f(x)=2^x$ jest:

$\mathbb{R}$

$(-\infty,0)$

$(0,\infty)$

$[0,\infty)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$(0,\infty)$

Wartości $2^x$ są zawsze dodatnie i nigdy nie są równe $0$ , więc zbiór wartości to $(0,\infty)$ .

NA KONIEC

Co zapamiętać o wykresie?

Funkcja wykładnicza ma postać $f(x)=a^x$ , gdzie $a>0$ i $a\ne1$ . Jej wykres przechodzi przez $(0,1)$ , leży nad osią $x$ i nie ma miejsc zerowych.

Zapamiętaj

$D_f=\mathbb{R}$ .

$W_f=(0,\infty)$ .

$a>1$ : funkcja rośnie.

$0<a<1$ : funkcja maleje.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Zmienna jest w wykładniku

Wartości 2x2^x2x rosną przez mnożenie

Każdy wykres przechodzi przez (0,1)(0,1)(0,1)

Podstawa decyduje o kierunku

Dziedzina i zbiór wartości

Teraz Twoja kolej

Który wzór opisuje funkcję wykładniczą?

Wykres funkcji f(x)=7xf(x)=7^xf(x)=7x przechodzi przez punkt:

Funkcja f(x)=(13)xf(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^xf(x)=(31​)x jest:

Zbiorem wartości funkcji f(x)=2xf(x)=2^xf(x)=2x jest:

Co zapamiętać o wykresie?

Wartości $2^x$ rosną przez mnożenie

Każdy wykres przechodzi przez $(0,1)$

Wykres funkcji $f(x)=7^x$ przechodzi przez punkt:

Funkcja $f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^x$ jest:

Zbiorem wartości funkcji $f(x)=2^x$ jest: