Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się budować wzór funkcji liniowej z informacji o wykresie. Najpierw wykorzystasz znany współczynnik $a$ i jeden punkt, potem policzysz $a$ z dwóch punktów.

Na start

Szukasz dwóch liczb: $a$ i $b$ .

Punkt $(x,y)$ spełnia równanie $y=ax+b$ .

Po tej lekcji:

wyznaczasz b z punktu
liczysz a z dwóch punktów
sprawdzasz wzór przez podstawienie

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Punkt na wykresie spełnia wzór

Jeśli punkt leży na wykresie, jego pierwszą współrzędną podstawiasz za $x$ , a drugą za $y$ .

Punkt $(x,y)$ na wykresie spełnia równość $y=ax+b$ .

Obliczanie b z punktu

Punkt $(2,7)$ leży na wykresie $f(x)=3x+b$ . Oblicz $b$ .

Rozwiązanie

Podstawiamy $x=2$ i $y=7$ : $7=3\cdot2+b$ . Stąd $7=6+b$ , więc $b=1$ .

Wskazówka

Nie zamieniaj kolejności współrzędnych. Punkt $(2,7)$ oznacza $x=2$ i $y=7$ .

02WYJAŚNIENIE

Gdy znasz $a$ i jeden punkt

Znane $a$ ustala nachylenie. Punkt mówi, jak przesunąć prostą, czyli pozwala obliczyć $b$ .

Prosta o ujemnym nachyleniu z krokiem jeden w prawo i dwa w dół.

Wzór z a i punktu

Wyznacz wzór funkcji o $a=-2$ , której wykres przechodzi przez $(3,1)$ .

Rozwiązanie

Zapisujemy $f(x)=-2x+b$ . Podstawiamy punkt: $1=-2\cdot3+b$ . Mamy $1=-6+b$ , więc $b=7$ . Wzór to $f(x)=-2x+7$ .

03WYJAŚNIENIE

Współczynnik $a$ z dwóch punktów

Gdy znasz dwa punkty, porównujesz zmianę wartości $y$ ze zmianą argumentu $x$ .

Schodek między dwoma punktami pokazujący deltę x i deltę y do obliczenia współczynnika kierunkowego.

Wymagamy $x_1\ne x_2$ , bo nie wolno dzielić przez zero. Dwa różne punkty o tej samej pierwszej współrzędnej wyznaczają prostą pionową, która nie jest wykresem funkcji argumentu $x$ .

$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Nachylenie z punktów

Oblicz $a$ prostej przechodzącej przez $A=(1,2)$ i $B=(3,8)$ .

Rozwiązanie

Zmiana wartości to $8-2=6$ , a zmiana argumentu to $3-1=2$ . Dlatego $a=\frac{6}{2}=3$ .

04WYJAŚNIENIE

Wzór z dwóch punktów krok po kroku

Najpierw liczysz $a$ , potem podstawiasz jeden punkt do $y=ax+b$ i obliczasz $b$ .

Dwa punkty dają pełny wzór

Wyznacz wzór funkcji przechodzącej przez $A=(1,2)$ i $B=(3,8)$ .

Rozwiązanie

Najpierw $a=\frac{8-2}{3-1}=3$ . Zatem $f(x)=3x+b$ . Podstawiamy $A=(1,2)$ : $2=3\cdot1+b$ , więc $b=-1$ . Wzór: $f(x)=3x-1$ .

Wskazówka

Możesz podstawić dowolny z danych punktów. Poprawny rachunek da to samo $b$ .

05WYJAŚNIENIE

Punkt na osi $y$ od razu daje $b$

Jeśli jednym z punktów jest $(0,b)$ , to od razu znasz wyraz wolny. To skraca rachunek.

Szybszy start

Wyznacz wzór funkcji przechodzącej przez $(0,4)$ i $(2,10)$ .

Rozwiązanie

Punkt $(0,4)$ daje $b=4$ . Liczymy $a=\frac{10-4}{2-0}=3$ . Wzór to $f(x)=3x+4$ .

Wskazówka

Punkt $(0,4)$ leży na osi $y$ , a nie jest miejscem zerowym.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Funkcja ma $a=2$ i przechodzi przez $(1,5)$ . Jej wzór to:

$f(x)=2x+3$

$f(x)=2x+5$

$f(x)=3x+2$

$f(x)=5x+2$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$f(x)=2x+3$

$5=2\cdot1+b$ , więc $b=3$ i $f(x)=2x+3$ .

PYTANIE 02

Współczynnik kierunkowy prostej przez $(0,1)$ i $(2,5)$ wynosi:

$1$

$2$

$4$

$\frac{1}{2}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$2$

$a=\frac{5-1}{2-0}=\frac{4}{2}=2$ .

PYTANIE 03

Funkcja przechodzi przez $(0,-3)$ i $(1,1)$ . Jej wzór to:

$f(x)=4x-3$

$f(x)=-3x+4$

$f(x)=x-3$

$f(x)=4x+3$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$f(x)=4x-3$

$(0,-3)$ daje $b=-3$ , a $a=\frac{1-(-3)}{1-0}=4$ .

PYTANIE 04

Punkt $(2,7)$ leży na wykresie $f(x)=3x+b$ . Ile wynosi $b$ ?

$1$

$2$

$6$

$13$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$1$

$7=3\cdot2+b$ , czyli $7=6+b$ . Stąd $b=1$ .

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

Żeby wyznaczyć wzór funkcji liniowej, szukasz liczb $a$ i $b$ w postaci $f(x)=ax+b$ .

Zapamiętaj

Punkt $(x,y)$ spełnia $y=ax+b$ .

$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ .

Punkt $(0,b)$ od razu daje wyraz wolny.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Punkt na wykresie spełnia wzór

Gdy znasz aaa i jeden punkt

Współczynnik aaa z dwóch punktów

Wzór z dwóch punktów krok po kroku

Punkt na osi yyy od razu daje bbb

Teraz Twoja kolej

Funkcja ma a=2a=2a=2 i przechodzi przez (1,5)(1,5)(1,5). Jej wzór to:

Współczynnik kierunkowy prostej przez (0,1)(0,1)(0,1) i (2,5)(2,5)(2,5) wynosi:

Funkcja przechodzi przez (0,−3)(0,-3)(0,−3) i (1,1)(1,1)(1,1). Jej wzór to:

Punkt (2,7)(2,7)(2,7) leży na wykresie f(x)=3x+bf(x)=3x+bf(x)=3x+b. Ile wynosi bbb?

Co trzeba zapamiętać?

Gdy znasz $a$ i jeden punkt

Współczynnik $a$ z dwóch punktów

Punkt na osi $y$ od razu daje $b$

Funkcja ma $a=2$ i przechodzi przez $(1,5)$ . Jej wzór to:

Współczynnik kierunkowy prostej przez $(0,1)$ i $(2,5)$ wynosi:

Funkcja przechodzi przez $(0,-3)$ i $(1,1)$ . Jej wzór to:

Punkt $(2,7)$ leży na wykresie $f(x)=3x+b$ . Ile wynosi $b$ ?