Proste równoległe

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się rozpoznawać proste równoległe bez dokładnego rysowania wykresów. Najważniejsza informacja to współczynnik kierunkowy $a$ : takie samo $a$ oznacza takie samo nachylenie.

Na start

Proste równoległe mają takie same współczynniki kierunkowe.

Różne $b$ przesuwa prostą, ale nie zmienia nachylenia.

Po tej lekcji:

rozpoznajesz równoległość po współczynniku a
odróżniasz proste równoległe od tej samej prostej
wyznaczasz prostą równoległą przez punkt

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Równoległość to takie samo nachylenie

Dwie różne proste o tym samym współczynniku $a$ mają ten sam kierunek. Mogą być przesunięte w górę lub w dół, ale nie zmieniają nachylenia.

Dwie proste równoległe o tym samym współczynniku kierunkowym dwa.

$f(x)=a_{1}x+b_{1},\quad g(x)=a_{2}x+b_{2}$

$a_1=a_2\Rightarrow \text{to samo nachylenie}$

02WYJAŚNIENIE

Warunek równoległości

Aby sprawdzić równoległość, sprowadź oba wzory do postaci $y=ax+b$ i porównaj współczynniki przy $x$ .

Porównanie współczynników

Sprawdź, czy $f(x)=3x-1$ i $g(x)=3x+5$ są równoległe.

Rozwiązanie

Dla obu funkcji współczynnik kierunkowy wynosi $3$ . Współczynniki są równe, więc wykresy są równoległe.

Wskazówka

Proste $p(x)=-2x+4$ i $q(x)=2x+4$ nie są równoległe, bo mają współczynniki $-2$ oraz $2$ .

03WYJAŚNIENIE

Równoległe czy ta sama prosta?

Jeśli dwie funkcje mają takie samo $a$ i takie samo $b$ , ich wykresy się pokrywają. To nie są dwie różne proste.

$a_1=a_2,\ b_1\ne b_2$ : proste różne i równoległe.

$a_1=a_2,\ b_1=b_2$ : ta sama prosta.

$a_1\ne a_2$ : proste nie są równoległe.

Identyczne wzory

Porównaj proste $f(x)=-x+4$ i $g(x)=-x+4$ .

Rozwiązanie

Obie mają $a=-1$ i $b=4$ . To ta sama prosta zapisana dwa razy.

04WYJAŚNIENIE

Prosta równoległa przez punkt

Jeśli szukana prosta ma być równoległa do danej, przepisujesz jej współczynnik $a$ . Potem podstawiasz dany punkt i liczysz $b$ .

Równoległa do y=2x-5

Wyznacz wzór prostej równoległej do $y=2x-5$ i przechodzącej przez $(1,4)$ .

Rozwiązanie

Prosta równoległa ma $a=2$ , więc $y=2x+b$ . Podstawiamy punkt: $4=2\cdot1+b$ , stąd $b=2$ . Wzór: $y=2x+2$ .

05WYJAŚNIENIE

Najpierw zostaw samo $y$

Jeśli wzór nie jest w postaci $y=ax+b$ , najpierw go uporządkuj. Dopiero wtedy odczytuj współczynnik kierunkowy.

Ukryty współczynnik

Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej $3y=6x+9$ .

Rozwiązanie

Dzielimy obie strony przez $3$ : $y=2x+3$ . Współczynnik kierunkowy to $2$ .

Wskazówka

Nie odczytuj $a=6$ z równania $3y=6x+9$ . Po lewej musi zostać samo $y$ .

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Która funkcja ma wykres równoległy do $f(x)=3x-2$ ?

$g(x)=-3x+2$

$g(x)=3x+5$

$g(x)=2x+3$

$g(x)=-2x+3$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$g(x)=3x+5$

Dana funkcja ma $a=3$ . Taki sam współczynnik ma $g(x)=3x+5$ .

PYTANIE 02

Proste $y=-4x+1$ i $y=-4x-7$ są:

równoległe

prostopadłe

tą samą prostą

pionowe

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

równoległe

Obie mają $a=-4$ , ale różne $b$ , więc są równoległe i różne.

PYTANIE 03

Prosta równoległa do $y=5x+2$ i przechodząca przez $(0,-3)$ ma wzór:

$y=-3x+5$

$y=5x-3$

$y=-5x-3$

$y=3x+5$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$y=5x-3$

Musi być $a=5$ . Punkt $(0,-3)$ daje $b=-3$ , więc $y=5x-3$ .

PYTANIE 04

Współczynnik kierunkowy prostej $3y=6x+9$ wynosi:

$6$

$9$

$2$

$3$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$2$

$3y=6x+9$ , więc $y=2x+3$ . Współczynnik kierunkowy wynosi $2$ .

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

Wykresy funkcji liniowych są równoległe, gdy mają takie same współczynniki kierunkowe. Jeśli szukasz prostej równoległej, przepisujesz $a$ i z punktu liczysz $b$ .

Zapamiętaj

$a_1=a_2$ oznacza takie samo nachylenie.

Przed odczytaniem $a$ uporządkuj wzór do postaci $y=ax+b$ .

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Równoległość to takie samo nachylenie

Warunek równoległości

Równoległe czy ta sama prosta?

Prosta równoległa przez punkt

Najpierw zostaw samo yyy

Teraz Twoja kolej

Która funkcja ma wykres równoległy do f(x)=3x−2f(x)=3x-2f(x)=3x−2?

Proste y=−4x+1y=-4x+1y=−4x+1 i y=−4x−7y=-4x-7y=−4x−7 są:

Prosta równoległa do y=5x+2y=5x+2y=5x+2 i przechodząca przez (0,−3)(0,-3)(0,−3) ma wzór:

Współczynnik kierunkowy prostej 3y=6x+93y=6x+93y=6x+9 wynosi:

Co trzeba zapamiętać?

Najpierw zostaw samo $y$

Która funkcja ma wykres równoległy do $f(x)=3x-2$ ?

Proste $y=-4x+1$ i $y=-4x-7$ są:

Prosta równoległa do $y=5x+2$ i przechodząca przez $(0,-3)$ ma wzór:

Współczynnik kierunkowy prostej $3y=6x+9$ wynosi: