Współczynnik kierunkowy i wyraz wolny

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się czytać wzór funkcji liniowej bez rysowania całej tabeli. Współczynnik $a$ pokaże nachylenie prostej, a wyraz wolny $b$ pokaże przecięcie z osią $y$ .

Na start

$a$ decyduje o kierunku i stromiźnie.

$b=f(0)$ jest wysokością startową na osi $y$ .

Po tej lekcji:

odczytujesz współczynniki a i b
łączysz b z osią y
interpretujesz a jako nachylenie

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Gdzie we wzorze są $a$ i $b$ ?

W postaci $f(x)=ax+b$ współczynnik $a$ stoi przy $x$ , a $b$ jest liczbą dodaną na końcu. Znak należy do liczby.

Odczyt współczynników

Dla funkcji $f(x)=-3x+7$ odczytaj $a$ i $b$ .

Rozwiązanie

Liczba przy $x$ to $-3$ , więc $a=-3$ . Liczba dodana na końcu to $7$ , więc $b=7$ .

Wskazówka

W zapisie $4x-2$ wyraz wolny to $-2$ , bo $4x-2=4x+(-2)$ .

02WYJAŚNIENIE

Wyraz wolny to przecięcie z osią $y$

Na osi $y$ wszystkie punkty mają $x=0$ . Dlatego podstawiamy zero do wzoru i dostajemy $f(0)=b$ .

Prosta f od x równa dwa x plus trzy przecinająca oś y w punkcie zero trzy.

$f(x)=ax+b$

$f(0)=a\cdot0+b=b$

Przecięcie z osią y

Gdzie wykres funkcji $f(x)=2x+3$ przecina oś $y$ ?

Rozwiązanie

Na osi $y$ mamy $x=0$ . Liczymy $f(0)=2\cdot0+3=3$ . Punkt przecięcia to $(0,3)$ .

03WYJAŚNIENIE

Współczynnik $a$ mówi o nachyleniu

Jeśli $a=2$ , to po przesunięciu o $1$ w prawo wartość funkcji rośnie o $2$ .

Schodek na wykresie funkcji liniowej pokazujący krok jeden w prawo i dwa w górę.

Krok w prawo i w górę

Dla $f(x)=2x+1$ sprawdź zmianę od $x=0$ do $x=1$ .

Rozwiązanie

$f(0)=1$ i $f(1)=3$ . Argument wzrósł o $1$ , a wartość o $2$ .

04WYJAŚNIENIE

Ujemne $a$ oznacza spadek

Gdy $a$ jest ujemne, prosta opada od lewej do prawej. Przy kroku w prawo wartość funkcji maleje.

Schodek na wykresie funkcji liniowej pokazujący krok jeden w prawo i dwa w dół.

Krok w prawo i w dół

Dla $f(x)=-2x+4$ sprawdź zmianę od $x=0$ do $x=1$ .

Rozwiązanie

$f(0)=4$ i $f(1)=2$ . Argument wzrósł o $1$ , a wartość spadła o $2$ .

05WYJAŚNIENIE

Współczynnik jako ułamek

Ułamek w roli współczynnika kierunkowego czytamy jako stosunek zmiany pionowej do poziomej. Dla $a=\frac{3}{2}$ wygodnie iść o $2$ w prawo i o $3$ w górę. Symbol $\Delta$ oznacza tutaj zmianę: $\Delta y=y_2-y_1$ i $\Delta x=x_2-x_1$ . W liczniku i mianowniku odejmujemy współrzędne w tej samej kolejności.

$a=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Krok dla ułamka

Dla $f(x)=\frac{3}{2}x+1$ znajdź dwa punkty pokazujące nachylenie.

Rozwiązanie

Zaczynamy od $f(0)=1$ , czyli punktu $(0,1)$ . Po zwiększeniu $x$ o $2$ dostajemy $f(2)=4$ , czyli punkt $(2,4)$ .

Wskazówka

Dla $a=-\frac{2}{3}$ idź o $3$ w prawo i o $2$ w dół.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Dla funkcji $f(x)=5x-4$ współczynniki $a$ i $b$ wynoszą:

$a=5,\ b=4$

$a=-4,\ b=5$

$a=5,\ b=-4$

$a=-5,\ b=4$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$a=5,\ b=-4$

Liczba przy $x$ to $5$ , a wyraz wolny to $-4$ .

PYTANIE 02

Wykres funkcji $f(x)=-2x+6$ przecina oś $y$ w punkcie:

$(-2,0)$

$(0,6)$

$(6,0)$

$(0,-2)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$(0,6)$

$f(0)=6$ , więc punkt przecięcia to $(0,6)$ .

PYTANIE 03

Jeśli współczynnik kierunkowy jest równy $3$ , to przy zwiększeniu $x$ o $1$ wartość funkcji:

maleje o $3$

rośnie o $3$

rośnie o $1$

nie zmienia się

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

rośnie o $3$

$a=3$ oznacza wzrost wartości o $3$ przy kroku o $1$ w prawo.

PYTANIE 04

Które dwie funkcje mają takie samo nachylenie?

$f(x)=2x+1$ i $g(x)=2x-5$

$f(x)=2x+1$ i $g(x)=-2x+1$

$f(x)=x+2$ i $g(x)=2x+1$

$f(x)=-3x+4$ i $g(x)=3x+4$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$f(x)=2x+1$ i $g(x)=2x-5$

Takie samo nachylenie oznacza taki sam współczynnik $a$ . W odpowiedzi poprawnej obie funkcje mają $a=2$ .

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

We wzorze $f(x)=ax+b$ liczba $a$ mówi o nachyleniu, a liczba $b$ o przecięciu z osią $y$ .

Zapamiętaj

$b=f(0)$ .

$a>0$ daje prostą rosnącą.

$a<0$ daje prostą opadającą.

$a=0$ daje prostą poziomą.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Gdzie we wzorze są aaa i bbb?

Wyraz wolny to przecięcie z osią yyy

Współczynnik aaa mówi o nachyleniu

Ujemne aaa oznacza spadek

Współczynnik jako ułamek

Teraz Twoja kolej

Dla funkcji f(x)=5x−4f(x)=5x-4f(x)=5x−4 współczynniki aaa i bbb wynoszą:

Wykres funkcji f(x)=−2x+6f(x)=-2x+6f(x)=−2x+6 przecina oś yyy w punkcie:

Jeśli współczynnik kierunkowy jest równy 333, to przy zwiększeniu xxx o 111 wartość funkcji:

Które dwie funkcje mają takie samo nachylenie?

Co trzeba zapamiętać?

Gdzie we wzorze są $a$ i $b$ ?

Wyraz wolny to przecięcie z osią $y$

Współczynnik $a$ mówi o nachyleniu

Ujemne $a$ oznacza spadek

Dla funkcji $f(x)=5x-4$ współczynniki $a$ i $b$ wynoszą:

Wykres funkcji $f(x)=-2x+6$ przecina oś $y$ w punkcie:

Jeśli współczynnik kierunkowy jest równy $3$ , to przy zwiększeniu $x$ o $1$ wartość funkcji: