Monotoniczność funkcji liniowej

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się szybko określać, czy funkcja liniowa rośnie, maleje czy jest stała. Zamiast robić długą tabelę, spojrzysz na znak współczynnika $a$ i kierunek prostej.

Na start

$a>0$ oznacza funkcję rosnącą.

$a<0$ oznacza funkcję malejącą.

$a=0$ oznacza funkcję stałą.

Po tej lekcji:

rozpoznajesz funkcję rosnącą, malejącą i stałą
odczytujesz monotoniczność ze znaku a
czytasz kierunek prostej z wykresu

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Patrz od lewej do prawej

Funkcja rośnie, gdy większym argumentom odpowiadają większe wartości. Maleje, gdy większym argumentom odpowiadają mniejsze wartości. Funkcja stała ma cały czas tę samą wartość.

Trzy małe wykresy funkcji liniowej: rosnącej, malejącej i stałej.

Zapamiętaj

W górę od lewej do prawej: rosnąca.

W dół od lewej do prawej: malejąca.

Poziomo: stała.

02WYJAŚNIENIE

Znak współczynnika $a$ wystarczy

W funkcji liniowej $f(x)=ax+b$ monotoniczność zależy tylko od $a$ . Wyraz wolny $b$ przesuwa prostą w górę lub w dół, ale nie zmienia jej kierunku.

$a>0\Rightarrow f\ \text{jest rosnąca}$

$a<0\Rightarrow f\ \text{jest malejąca}$

$a=0\Rightarrow f\ \text{jest stała}$

Decyzja ze wzoru

Określ monotoniczność funkcji $f(x)=7x-10$ oraz $g(x)=-\frac{1}{2}x+4$ .

Rozwiązanie

Dla $f$ mamy $a=7>0$ , więc funkcja rośnie. Dla $g$ mamy $a=-\frac{1}{2}<0$ , więc funkcja maleje.

03WYJAŚNIENIE

Funkcja stała nie rośnie i nie maleje

Jeśli $a=0$ , wzór ma postać $f(x)=b$ . Dla każdego argumentu wartość funkcji jest taka sama.

$f(x)=-2=0\cdot x-2$

Rozpoznanie funkcji stałej

Określ monotoniczność funkcji $f(x)=-2$ .

Rozwiązanie

Możemy zapisać $f(x)=0\cdot x-2$ , więc $a=0$ . Funkcja jest stała.

Wskazówka

Nie nazywaj jej rosnącą tylko dlatego, że wykres biegnie w prawo. Wartość się nie zmienia.

04WYJAŚNIENIE

Porównywanie kilku funkcji

Gdy masz kilka wzorów, odczytaj wyłącznie liczbę stojącą przy $x$ . Nie musisz liczyć miejsc zerowych ani punktów przecięcia z osiami.

Trzy wzory, trzy decyzje

Określ monotoniczność funkcji $f(x)=3x+1$ , $g(x)=-x+5$ , $h(x)=6$ .

Rozwiązanie

$f$ jest rosnąca, bo $a=3$ . $g$ jest malejąca, bo $a=-1$ . $h$ jest stała, bo $a=0$ .

Wskazówka

Jeśli przy $x$ nie widać liczby, to współczynnik wynosi $1$ albo $-1$ .

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Funkcja $f(x)=4x-9$ jest:

rosnąca

malejąca

stała

nie jest liniowa

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

rosnąca

$a=4>0$ , więc funkcja jest rosnąca.

PYTANIE 02

Funkcja $g(x)=-\frac{2}{3}x+1$ jest:

rosnąca

malejąca

stała

dodatnia dla każdego argumentu

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

malejąca

$a=-\frac{2}{3}<0$ , więc funkcja jest malejąca.

PYTANIE 03

Która funkcja jest stała?

$f(x)=x+3$

$f(x)=-x+3$

$f(x)=3$

$f(x)=3x$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$f(x)=3$

$f(x)=3=0\cdot x+3$ , więc $a=0$ .

PYTANIE 04

Która funkcja liniowa jest malejąca?

$f(x)=2x-1$

$f(x)=\frac{1}{5}x+2$

$f(x)=-7x+4$

$f(x)=8$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$f(x)=-7x+4$

Tylko w odpowiedzi poprawnej mamy $a=-7<0$ .

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

Monotoniczność funkcji liniowej odczytujesz ze znaku współczynnika kierunkowego $a$ . Wyraz wolny $b$ nie decyduje o tym, czy funkcja rośnie czy maleje.

Zapamiętaj

$a>0$ : rosnąca.

$a<0$ : malejąca.

$a=0$ : stała.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Patrz od lewej do prawej

Znak współczynnika aaa wystarczy

Funkcja stała nie rośnie i nie maleje

Porównywanie kilku funkcji

Teraz Twoja kolej

Funkcja f(x)=4x−9f(x)=4x-9f(x)=4x−9 jest:

Funkcja g(x)=−23x+1g(x)=-\frac{2}{3}x+1g(x)=−32​x+1 jest:

Która funkcja jest stała?

Która funkcja liniowa jest malejąca?

Co trzeba zapamiętać?

Znak współczynnika $a$ wystarczy

Funkcja $f(x)=4x-9$ jest:

Funkcja $g(x)=-\frac{2}{3}x+1$ jest: