Wykres i wzór funkcji liniowej

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się rozpoznawać funkcję liniową po wzorze i po wykresie. Przejdziesz od wzoru przez tabelę wartości do punktów w układzie współrzędnych, a potem zobaczysz, dlaczego wykresem jest prosta.

Na start

Funkcja liniowa ma postać $f(x)=ax+b$ .

Punkt wykresu zapisujemy jako $(x,f(x))$ .

Do narysowania prostej wystarczą dwa różne punkty.

Po tej lekcji:

rozpoznajesz funkcję liniową po wzorze
obliczasz wartości funkcji
rysujesz wykres z tabeli wartości

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Wzór ma postać $f(x)=ax+b$

Funkcja liniowa ma wzór $f(x)=ax+b$ , gdzie $a$ i $b$ są stałymi liczbami. Dopuszczamy także $a=0$ — wtedy funkcja jest stała. Współczynnik $a$ opisuje nachylenie wykresu, a $b$ jego przecięcie z osią pionową.

$f(x)=ax+b$

$a$ stoi przy $x$ .

$b$ jest dodawane na końcu.

Wykresem jest prosta.

Czy to funkcja liniowa?

Sprawdź, czy $f(x)=3x-2$ jest funkcją liniową.

Rozwiązanie

Wzór pasuje do postaci $ax+b$ . Liczba przy $x$ to $3$ , a wyraz wolny to $-2$ . To funkcja liniowa.

Wskazówka

Wzór z $x^2$ albo $\frac{1}{x}$ nie jest funkcją liniową.

02WYJAŚNIENIE

Wartość funkcji liczymy przez podstawienie

Zapis $f(3)$ oznacza wartość funkcji dla argumentu $x=3$ . W miejsce każdej litery $x$ wstawiasz tę liczbę.

$f(x)=2x+1$

$f(3)=2\cdot3+1=7$

Trzy wartości funkcji

Dla funkcji $f(x)=2x+1$ oblicz $f(-2)$ , $f(0)$ i $f(3)$ .

Rozwiązanie

$f(-2)=2\cdot(-2)+1=-3$ , $f(0)=1$ , $f(3)=7$ . Otrzymane punkty to $(-2,-3)$ , $(0,1)$ i $(3,7)$ .

Wskazówka

Zapis $2x$ oznacza mnożenie $2\cdot x$ , nie dopisywanie cyfry.

03WYJAŚNIENIE

Tabela wartości zamienia wzór na punkty

Wybierasz kilka argumentów, liczysz odpowiadające im wartości funkcji i zapisujesz punkty. Pierwsza współrzędna punktu to argument, druga to obliczona wartość.

Tabela wartości funkcji f od x równa x plus dwa zamieniona na trzy punkty wykresu.

Tabela dla wzoru f(x)=x+2

Uzupełnij wartości funkcji $f(x)=x+2$ dla $x=-2$ , $x=0$ , $x=2$ .

Rozwiązanie

$f(-2)=0$ , $f(0)=2$ , $f(2)=4$ . Punkty wykresu to $(-2,0)$ , $(0,2)$ , $(2,4)$ .

04WYJAŚNIENIE

Punkty leżą na jednej prostej

Dla funkcji liniowej punkty obliczone z tabeli układają się na jednej prostej. Dwa punkty wyznaczają prostą, a trzeci pomaga sprawdzić, czy rachunek nie uciekł.

Wykres funkcji f od x równa x plus dwa z trzema punktami leżącymi na jednej prostej.

Zapamiętaj

Wykres funkcji liniowej to prosta.

Do rysunku wystarczą dwa różne punkty.

05WYJAŚNIENIE

Funkcja stała też jest liniowa

Wzór bez widocznego $x$ nadal może być funkcją liniową. Funkcja $f(x)=3$ ma tę samą wartość dla każdego argumentu, więc jej wykres jest poziomą prostą.

Poziomy wykres funkcji stałej f od x równa trzy.

$f(x)=3=0\cdot x+3$

Pozioma prosta

Jak wygląda wykres funkcji $f(x)=3$ ?

Rozwiązanie

Dla każdego $x$ wartość wynosi $3$ . Punkty $(-2,3)$ , $(0,3)$ i $(2,3)$ leżą na tej samej wysokości.

Wskazówka

To nie jest jeden punkt. To cała pozioma prosta.

06WYJAŚNIENIE

Punkt z wykresu daje wartość funkcji

Punkt $(2,5)$ na wykresie funkcji oznacza, że dla argumentu $x=2$ wartość funkcji wynosi $5$ .

Punkt $(a,b)$ leży na wykresie funkcji $f$ dokładnie wtedy, gdy $f(a)=b$ .

Odczyt z punktu

Na wykresie funkcji leży punkt $(-1,4)$ . Ile wynosi $f(-1)$ ?

Rozwiązanie

Pierwsza współrzędna jest argumentem, a druga wartością. Dlatego $f(-1)=4$ .

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Który wzór opisuje funkcję liniową?

$f(x)=x^2+2$

$f(x)=\frac{1}{x}$

$f(x)=-3x+5$

$f(x)=2^x$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$f(x)=-3x+5$

Funkcja liniowa ma postać $f(x)=ax+b$ . Pasuje wzór $f(x)=-3x+5$ .

PYTANIE 02

Dla funkcji $f(x)=2x-1$ wartość $f(4)$ wynosi:

$6$

$7$

$8$

$9$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$7$

$f(4)=2\cdot4-1=7$ .

PYTANIE 03

Punkt $(3,-2)$ leży na wykresie funkcji $f$ . Co z tego wynika?

$f(-2)=3$

$f(3)=-2$

$f(3)=2$

$f(-3)=2$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$f(3)=-2$

Punkt $(3,-2)$ oznacza $f(3)=-2$ .

PYTANIE 04

Wykresem funkcji $f(x)=5$ jest:

prosta pionowa

prosta pozioma

parabola

jeden punkt

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

prosta pozioma

Dla każdego $x$ wartość wynosi $5$ , więc wykres to pozioma prosta.

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

Funkcja liniowa ma wzór $f(x)=ax+b$ , a jej wykresem jest prosta. Wartości funkcji liczysz przez podstawienie argumentu, a punkt wykresu zapisujesz jako $(x,f(x))$ .

Zapamiętaj

Wykres funkcji liniowej to prosta.

Tabela wartości daje punkty wykresu.

Funkcja stała $f(x)=b$ też jest liniowa.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Wzór ma postać f(x)=ax+bf(x)=ax+bf(x)=ax+b

Wartość funkcji liczymy przez podstawienie

Tabela wartości zamienia wzór na punkty

Punkty leżą na jednej prostej

Funkcja stała też jest liniowa

Punkt z wykresu daje wartość funkcji

Teraz Twoja kolej

Który wzór opisuje funkcję liniową?

Dla funkcji f(x)=2x−1f(x)=2x-1f(x)=2x−1 wartość f(4)f(4)f(4) wynosi:

Punkt (3,−2)(3,-2)(3,−2) leży na wykresie funkcji fff. Co z tego wynika?

Wykresem funkcji f(x)=5f(x)=5f(x)=5 jest:

Co trzeba zapamiętać?

Wzór ma postać $f(x)=ax+b$

Dla funkcji $f(x)=2x-1$ wartość $f(4)$ wynosi:

Punkt $(3,-2)$ leży na wykresie funkcji $f$ . Co z tego wynika?

Wykresem funkcji $f(x)=5$ jest: