Zastosowania funkcji liniowej

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się opisywać funkcją liniową sytuacje, w których wynik zmienia się o stałą wartość na każdą jednostkę. Będą to koszty, opłaty, ubytek wody i porównanie ofert.

Na start

$a$ to zmiana za jedną jednostkę.

$b$ to wartość początkowa.

Zawsze ustal, co oznacza argument.

Po tej lekcji:

układasz wzór liniowy z treści
interpretujesz a i b w kontekście
porównujesz dwie oferty

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Stała opłata i cena za jednostkę

Gdy jest opłata początkowa i stała cena za każdą jednostkę, koszt ma postać funkcji liniowej. Opłata początkowa to $b$ , a cena za jednostkę to $a$ .

Schemat kosztu wypożyczenia: opłata początkowa i kolejne opłaty za godzinę.

Wypożyczenie roweru

Wypożyczenie roweru kosztuje $10$ zł opłaty początkowej i $4$ zł za każdą godzinę. Zapisz $K(x)$ .

Rozwiązanie

Liczba godzin to $x$ . Koszt godzin to $4x$ , a opłata początkowa to $10$ . Wzór: $K(x)=4x+10$ .

02WYJAŚNIENIE

Wartość funkcji musi mieć sens w treści

Jeśli $x$ oznacza liczbę godzin, to $K(3)$ oznacza koszt za $3$ godziny, a nie trzecią funkcję.

Koszt dla trzech godzin

Dla $K(x)=4x+10$ oblicz koszt za $3$ godziny.

Rozwiązanie

Podstawiamy $x=3$ : $K(3)=4\cdot3+10=22$ . Koszt wynosi $22$ zł.

Zapamiętaj

$K(0)=10$ pokazuje opłatę początkową.

03WYJAŚNIENIE

Ubytek daje ujemny współczynnik

Funkcja liniowa może opisywać regularny spadek. Jeśli coś ubywa o stałą ilość w każdej jednostce czasu, współczynnik przy czasie jest ujemny. Ten model działa do opróżnienia zbiornika: $100-5t\ge0$ , więc $0\le t\le20$ . Po dwudziestu minutach nie przedłużamy go do ujemnej ilości wody.

$P(t)=100-5t$

Woda w zbiorniku

W zbiorniku jest $100$ litrów wody. Co minutę ubywa $5$ litrów. Zapisz $P(t)$ .

Rozwiązanie

Na początku jest $100$ , więc $b=100$ . Co minutę ubywa $5$ , więc współczynnik to $-5$ . Wzór: $P(t)=100-5t$ .

Wskazówka

Słowo o ubytku oznacza odejmowanie. Nie zapisuj wtedy $100+5t$ .

04WYJAŚNIENIE

Gdy szukasz argumentu, rozwiązujesz równanie

Jeśli pytanie brzmi, po jakim czasie wynik osiągnie daną wartość, nie podstawiasz czasu. Podstawiasz daną wartość po stronie funkcji i rozwiązujesz równanie.

Kiedy zostanie dwadzieścia pięć litrów?

Dla $P(t)=100-5t$ oblicz, kiedy zostanie $25$ litrów.

Rozwiązanie

Szukamy $t$ , dla którego $P(t)=25$ . Równanie: $100-5t=25$ . Stąd $-5t=-75$ i $t=15$ .

Zapamiętaj

Dany argument: podstawiasz.

Dana wartość: rozwiązujesz równanie.

05WYJAŚNIENIE

Porównanie dwóch ofert

Każda oferta ma swój wzór kosztu. Moment równości kosztów znajdujesz przez przyrównanie wzorów.

Dwie funkcje kosztu przecinające się w punkcie równych kosztów.

Kiedy koszty są równe?

Oferta A: $A(x)=5x+20$ . Oferta B: $B(x)=8x+5$ . Dla ilu godzin koszty są równe?

Rozwiązanie

Przyrównujemy: $5x+20=8x+5$ . Odejmujemy $5x$ : $20=3x+5$ . Odejmujemy $5$ : $15=3x$ . Zatem $x=5$ .

Wskazówka

Niższa opłata startowa nie zawsze oznacza tańszą ofertę dla większej liczby jednostek.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Taksówka pobiera $9$ zł opłaty początkowej i $3$ zł za kilometr. Wzór kosztu to:

$K(x)=9x+3$

$K(x)=3x+9$

$K(x)=12x$

$K(x)=9-3x$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$K(x)=3x+9$

Koszt kilometrów to $3x$ , a opłata początkowa to $9$ , więc $K(x)=3x+9$ .

PYTANIE 02

Dla $K(x)=3x+9$ koszt przejazdu $5$ km wynosi:

$15$ zł

$18$ zł

$24$ zł

$45$ zł

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$24$ zł

$K(5)=3\cdot5+9=24$ , więc koszt to $24$ zł.

PYTANIE 03

W zbiorniku jest $80$ litrów wody i co minutę ubywa $4$ litry. Wzór ilości wody to:

$P(t)=80+4t$

$P(t)=4t-80$

$P(t)=80-4t$

$P(t)=84t$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$P(t)=80-4t$

Początkowo jest $80$ , a co minutę odejmujemy $4$ , więc $P(t)=80-4t$ .

PYTANIE 04

Oferta A: $A(x)=10x+20$ . Oferta B: $B(x)=15x$ . Dla ilu jednostek koszty są równe?

$2$

$4$

$5$

$20$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$4$

$10x+20=15x$ , więc $20=5x$ i $x=4$ .

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

Funkcja liniowa dobrze opisuje sytuacje ze stałą zmianą na jednostkę. W zadaniu tekstowym najpierw ustal, co oznacza argument, potem rozpoznaj wartość początkową i zmianę jednostkową.

Zapamiętaj

$a$ to zmiana za jedną jednostkę.

$b$ to wartość początkowa.

Dwie oferty porównujesz przez przyrównanie wzorów.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Stała opłata i cena za jednostkę

Wartość funkcji musi mieć sens w treści

Ubytek daje ujemny współczynnik

Gdy szukasz argumentu, rozwiązujesz równanie

Porównanie dwóch ofert

Teraz Twoja kolej

Taksówka pobiera 999 zł opłaty początkowej i 333 zł za kilometr. Wzór kosztu to:

Dla K(x)=3x+9K(x)=3x+9K(x)=3x+9 koszt przejazdu 555 km wynosi:

W zbiorniku jest 808080 litrów wody i co minutę ubywa 444 litry. Wzór ilości wody to:

Oferta A: A(x)=10x+20A(x)=10x+20A(x)=10x+20. Oferta B: B(x)=15xB(x)=15xB(x)=15x. Dla ilu jednostek koszty są równe?

Co trzeba zapamiętać?

Taksówka pobiera $9$ zł opłaty początkowej i $3$ zł za kilometr. Wzór kosztu to:

Dla $K(x)=3x+9$ koszt przejazdu $5$ km wynosi:

W zbiorniku jest $80$ litrów wody i co minutę ubywa $4$ litry. Wzór ilości wody to:

Oferta A: $A(x)=10x+20$ . Oferta B: $B(x)=15x$ . Dla ilu jednostek koszty są równe?