Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Wyznaczanie wzoru

W tej lekcji nauczysz się dobierać postać funkcji kwadratowej do danych z zadania: wierzchołka, miejsc zerowych albo punktów wykresu.

Na start

wierzchołek prowadzi do postaci kanonicznej

miejsca zerowe prowadzą do postaci iloczynowej

trzy punkty można podstawić do postaci ogólnej

Po tej lekcji:

wybierzesz właściwą postać wzoru
wyznaczysz współczynnik z punktu
sprawdzisz otrzymany wzór

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Wybór postaci z wykresu

Dobry wybór postaci skraca rachunki. Z wykresu zwykle najszybciej widać wierzchołek albo miejsca zerowe.

Parabola z zaznaczonym wierzchołkiem, miejscami zerowymi i punktem przecięcia z osią pionową jako wskazówkami wyboru postaci wzoru.

02WYJAŚNIENIE

Gdy znasz wierzchołek

Wierzchołek daje postać kanoniczną. Dodatkowy punkt służy do wyznaczenia współczynnika.

Jeśli $W=(2,-3)$ , zaczynamy od $f(x)=a(x-2)^2-3$ .

Jeśli punkt $(0,5)$ leży na wykresie, to $5=a(0-2)^2-3$ .

$5=4a-3\quad \Rightarrow\quad a=2$

03WYJAŚNIENIE

Gdy znasz miejsca zerowe

Miejsca zerowe dają postać iloczynową. Dodatkowy punkt wyznacza współczynnik.

Dla miejsc zerowych $-1$ i $3$ : $f(x)=a(x+1)(x-3)$ .

Punkt $(0,-6)$ daje $-6=a\cdot1\cdot(-3)$ , więc $a=2$ .

04WYJAŚNIENIE

Gdy znasz trzy punkty

Przykład: wykres przechodzi przez $(0,2)$ , $(1,3)$ i $(2,6)$ . Podstawiamy punkty do $f(x)=ax^2+bx+c$ . Pierwszy daje $c=2$ , drugi $a+b=1$ , a trzeci $4a+2b=4$ . Odejmując podwojone równanie $a+b=1$ od ostatniego, mamy $2a=2$ , więc $a=1$ , $b=0$ . Stąd $f(x)=x^2+2$ .

$f(x)=ax^2+bx+c$

Punkt $(0,2)$ od razu daje $c=2$ .

Pozostałe punkty podstawiamy za $x$ i $f(x)$ .

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Dobór postaci

Który początek wzoru pasuje do miejsc zerowych $2$ i $5$ ?

$a(x+2)(x+5)$

$a(x-2)(x-5)$

$a(x-2)^2+5$

$ax^2+2x+5$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$a(x-2)(x-5)$

Miejsce zerowe $2$ daje nawias $(x-2)$ , a miejsce zerowe $5$ daje $(x-5)$ .

NA KONIEC

Najważniejsze po tej lekcji

Wzór funkcji kwadratowej wyznaczasz najsprawniej wtedy, gdy wybierzesz postać pasującą do danych.

Zapamiętaj

Wierzchołek: $a(x-p)^2+q$ .

Miejsca zerowe: $a(x-x_1)(x-x_2)$ .

Punkt wykresu podstawiasz, żeby znaleźć $a$ .