Trapez - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się pracować z trapezem: rozpoznawać podstawy, wysokość i ramiona, a potem używać wzoru na pole. Zobaczysz też, dlaczego we wzorze pojawia się suma podstaw podzielona przez $2$ .

Plan tej lekcji

Najpierw odróżnisz podstawy trapezu od ramion.

Potem zobaczysz, czym jest wysokość trapezu.

Następnie policzysz pole ze wzoru $P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$ .

Na końcu przećwiczysz zadania z brakującą wysokością, podstawą albo polem.

Na start

W trapezie równoległe są podstawy.

Wysokość trapezu zawsze jest prostopadła do podstaw.

Po tej lekcji:

Po tej lekcji uczeń umie rozpoznawać trapez, wskazywać jego podstawy i wysokość oraz obliczać pole i brakujące elementy trapezu.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Trapez: co najmniej jedna para boków równoległych

Trapez to czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Te równoległe boki nazywamy podstawami. Pozostałe dwa boki to ramiona.

Pokazać, które boki trapezu są podstawami, a które ramionami.

$a\parallel b$

Podstawy trapezu są równoległe.

Ramiona trapezu nie muszą być równe.

Wysokość trapezu to odległość między podstawami.

Wysokość jest prostopadła do podstaw.

Zapamiętaj

Podstawy nie muszą leżeć poziomo w rysunku, ale zawsze są równoległymi bokami trapezu.

02WYJAŚNIENIE

Wysokość trapezu to odległość między podstawami

Wysokość trapezu nie jest zwykle ramieniem. To odcinek prostopadły do podstaw, który pokazuje odległość między nimi.

Pokazać, że wysokość trapezu jest prostopadła do podstaw i mierzy odległość między nimi.

$h\perp a$

$h\perp b$

Wskazówka

Uwaga: Jeśli ramię trapezu jest skośne, to nie jest wysokością. Wysokość musi tworzyć z podstawą kąt $90^\circ$ .

03WYJAŚNIENIE

Pole trapezu: średnia podstaw razy wysokość

Pole trapezu liczymy z długości obu podstaw i wysokości. Najpierw dodajemy podstawy, potem dzielimy przez $2$ , a na końcu mnożymy przez wysokość.

Pokazać sens wzoru na pole trapezu jako średnia długość podstaw razy wysokość.

Dlaczego dzielimy przez dwa? Dwie jednakowe kopie trapezu można złożyć w równoległobok o podstawie $a+b$ i wysokości $h$ . Jego pole to $(a+b)h$ , więc jeden trapez zajmuje połowę tego pola.

$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$

$\text{albo}$

$P=\frac{a+b}{2}\cdot h$

Przykład

Trapez ma podstawy $12\ \text{cm}$ i $8\ \text{cm}$ , a wysokość $5\ \text{cm}$ . Oblicz jego pole.

Rozwiązanie

Oznaczamy podstawy: $a=12$ , $b=8$ .

Wysokość wynosi $h=5$ .

Korzystamy ze wzoru $P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$ .

Podstawiamy: $P=\frac{(12+8)\cdot 5}{2}$ .

Dodajemy podstawy: $12+8=20$ .

Mnożymy przez wysokość: $20\cdot 5=100$ .

Dzielimy przez $2$ : $P=50\ \text{cm}^2$ .

Pole trapezu wynosi $50\ \text{cm}^2$ . Można też powiedzieć, że średnia długość podstaw to $10$ , a $10\cdot 5=50$ .

Zapamiętaj

Wzór na pole trapezu zawsze używa dwóch podstaw i wysokości.

04WYJAŚNIENIE

Jak znaleźć wysokość, gdy znasz pole?

Jeśli w zadaniu znamy pole i podstawy, ale nie znamy wysokości, nadal używamy tego samego wzoru. Różnica polega tylko na tym, że niewiadomą jest $h$ .

$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$

Przykład

Pole trapezu wynosi $72\ \text{cm}^2$ , a jego podstawy mają długości $10\ \text{cm}$ i $14\ \text{cm}$ . Oblicz wysokość trapezu.

Rozwiązanie

Zapisujemy dane: $P=72$ , $a=10$ , $b=14$ .

Podstawiamy do wzoru: $72=\frac{(10+14)\cdot h}{2}$ .

Dodajemy podstawy: $72=\frac{24h}{2}$ .

Dzielimy $24h$ przez $2$ : $72=12h$ .

Dzielimy obie strony przez $12$ : $h=6\ \text{cm}$ .

Wysokość trapezu wynosi $6\ \text{cm}$ . Pole rozłożyło się na średnią podstaw $12$ i wysokość $6$ .

Wskazówka

Przy szukaniu wysokości możesz najpierw policzyć średnią podstaw: $\frac{a+b}{2}$ . Potem równanie ma prostą postać $P=\text{średnia podstaw}\cdot h$ .

05WYJAŚNIENIE

Trapez równoramienny ma równe ramiona

Trapez równoramienny ma równe ramiona. W zadaniach maturalnych często pojawia się wtedy symetria: po bokach trapezu tworzą się dwa takie same trójkąty prostokątne.

Pokazać, że w trapezie równoramiennym po opuszczeniu wysokości powstają dwa takie same trójkąty prostokątne.

Przykład

Trapez równoramienny ma podstawy $18\ \text{cm}$ i $10\ \text{cm}$ , wysokość $3\ \text{cm}$ . Oblicz długość ramienia.

Rozwiązanie

Różnica podstaw wynosi $18-10=8$ .

W trapezie równoramiennym ta różnica dzieli się równo na dwa boczne odcinki.

Jeden boczny odcinek przy dolnej podstawie ma długość $\frac{8}{2}=4$ .

Ramię trapezu, wysokość $3$ i odcinek $4$ tworzą trójkąt prostokątny.

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa: $r^2=3^2+4^2$ .

Liczymy: $r^2=9+16=25$ .

Pierwiastkujemy: $r=5\ \text{cm}$ .

Każde ramię trapezu ma długość $5\ \text{cm}$ . Symetria trapezu równoramiennego pozwoliła podzielić różnicę podstaw na pół.

Wskazówka

Uwaga: Nie bierz całej różnicy podstaw jako jednego boku trójkąta. W trapezie równoramiennym różnica podstaw dzieli się na dwie równe części.

06WYJAŚNIENIE

Trapez prostokątny ma jedno ramię prostopadłe do podstaw

W trapezie prostokątnym jedno ramię jest jednocześnie wysokością. To ułatwia zadania, bo nie trzeba osobno szukać odcinka prostopadłego.

Pokazać, że w trapezie prostokątnym jedno ramię jest wysokością.

Przykład

Trapez prostokątny ma podstawy $9\ \text{cm}$ i $15\ \text{cm}$ , a prostopadłe ramię ma długość $4\ \text{cm}$ . Oblicz pole trapezu.

Rozwiązanie

W trapezie prostokątnym prostopadłe ramię jest wysokością.

Zatem $h=4$ .

Podstawy mają długości $a=15$ i $b=9$ .

Korzystamy ze wzoru $P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$ .

Podstawiamy: $P=\frac{(15+9)\cdot 4}{2}$ .

Dodajemy podstawy: $15+9=24$ .

Liczymy: $P=\frac{24\cdot 4}{2}=\frac{96}{2}=48\ \text{cm}^2$ .

Pole trapezu wynosi $48\ \text{cm}^2$ . Prostopadłe ramię od razu dało wysokość.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Zadania utrwalające

Trapez ma podstawy $6\ \text{cm}$ i $14\ \text{cm}$ , a wysokość $5\ \text{cm}$ . Jakie jest jego pole?

$20\ \text{cm}^2$

$40\ \text{cm}^2$

$50\ \text{cm}^2$

$100\ \text{cm}^2$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$50\ \text{cm}^2$

$P=\frac{(6+14)\cdot 5}{2}=\frac{20\cdot 5}{2}=50\ \text{cm}^2$ .

PYTANIE 02

Zadania utrwalające 2

Pole trapezu wynosi $45\ \text{cm}^2$ , a podstawy mają długości $7\ \text{cm}$ i $11\ \text{cm}$ . Jaka jest wysokość trapezu?

$3\ \text{cm}$

$5\ \text{cm}$

$9\ \text{cm}$

$18\ \text{cm}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$5\ \text{cm}$

$45=\frac{(7+11)\cdot h}{2}=\frac{18h}{2}=9h$ , więc $h=5\ \text{cm}$ .

PYTANIE 03

Zadania utrwalające 3

W trapezie równoramiennym podstawy mają długości $20\ \text{cm}$ i $12\ \text{cm}$ . Z obu końców krótszej podstawy opuszczamy wysokości na dłuższą podstawę. Ile ma każdy z dwóch skrajnych odcinków, na które wysokości dzielą dłuższą podstawę?

$2\ \text{cm}$

$4\ \text{cm}$

$8\ \text{cm}$

$16\ \text{cm}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$4\ \text{cm}$

Różnica podstaw to $20-12=8$ . W trapezie równoramiennym dzieli się ona na dwie równe części, więc jeden odcinek ma długość $4\ \text{cm}$ .

PYTANIE 04

Zadania utrwalające 4

Trapez prostokątny ma prostopadłe ramię długości $6\ \text{cm}$ . Co można od razu stwierdzić?

Wysokość trapezu wynosi $6\ \text{cm}$ .

Obie podstawy mają po $6\ \text{cm}$ .

Drugie ramię też ma $6\ \text{cm}$ .

Pole trapezu wynosi $36\ \text{cm}^2$ .

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

Wysokość trapezu wynosi $6\ \text{cm}$ .

W trapezie prostokątnym prostopadłe ramię jest wysokością, więc $h=6\ \text{cm}$ .

NA KONIEC

Najważniejsze metody z trapezu

Trapez ma jedną parę boków równoległych: to są podstawy.

Wysokość trapezu jest prostopadła do podstaw.

Pole trapezu liczymy ze wzoru $P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$ .

Możesz myśleć o tym wzorze jako: średnia długość podstaw razy wysokość.

W trapezie równoramiennym ramiona są równe, a różnica podstaw dzieli się symetrycznie na dwie części.

W trapezie prostokątnym jedno ramię jest wysokością.

Przy zadaniach z ramionami często pojawia się twierdzenie Pitagorasa.