Wielokąty foremne - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się, co znaczy, że wielokąt jest foremny. Potem policzysz kąty i obwody takich figur. Na koniec zobaczysz, jak rozkładać wielokąt foremny na prostsze części, żeby wykorzystać znane wzory.

Plan tej lekcji

Najpierw ustalisz, kiedy wielokąt jest foremny.

Potem policzysz sumę kątów wewnętrznych.

Następnie znajdziesz miarę jednego kąta w wielokącie foremnym.

Potem użyjesz kąta środkowego $\frac{360^\circ}{n}$ .

Na końcu przećwiczysz zadania z obwodem, kątami i sześciokątem foremnym.

Na start

Wielokąt foremny ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe.

Sam fakt, że boki są równe, nie zawsze wystarcza do foremności.

Po tej lekcji:

Po tej lekcji uczeń umie rozpoznawać wielokąty foremne, obliczać ich kąty, obwody oraz proste pola wynikające z podziału na znane figury.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Wielokąt foremny ma równe boki i równe kąty

Wielokąt foremny spełnia dwa warunki naraz: wszystkie jego boki są równe i wszystkie jego kąty wewnętrzne są równe. Jeśli brakuje jednego z tych warunków, figura nie musi być foremna.

Pokazać przykłady wielokątów foremnych o różnej liczbie boków.

Trójkąt foremny to trójkąt równoboczny.

Czworokąt foremny to kwadrat.

Pięciokąt foremny ma pięć równych boków i pięć równych kątów.

Sześciokąt foremny ma sześć równych boków i sześć równych kątów.

Wskazówka

Uwaga: Romb ma wszystkie boki równe, ale nie zawsze jest wielokątem foremnym, bo jego kąty nie muszą być równe. Foremny czworokąt to kwadrat.

02WYJAŚNIENIE

Suma kątów wewnętrznych zależy od liczby boków

Każdy wielokąt wypukły można podzielić przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka na trójkąty. Jeśli wielokąt ma $n$ boków, to powstaje $n-2$ trójkątów. Każdy trójkąt ma sumę kątów $180^\circ$ .

Pokazać, dlaczego suma kątów w n-kącie wynosi (n-2) razy 180 stopni.

$S=(n-2)\cdot 180^\circ$

Przykład

Oblicz sumę kątów wewnętrznych ośmiokąta.

Rozwiązanie

Ośmiokąt ma $n=8$ boków.

Korzystamy ze wzoru $S=(n-2)\cdot 180^\circ$ .

Podstawiamy: $S=(8-2)\cdot 180^\circ$ .

Liczymy liczbę trójkątów: $8-2=6$ .

Mnożymy: $S=6\cdot 180^\circ=1080^\circ$ .

Suma kątów wewnętrznych ośmiokąta wynosi $1080^\circ$ .

Zapamiętaj

Wzór $(n-2)\cdot 180^\circ$ działa dla każdego wielokąta wypukłego.

03WYJAŚNIENIE

Jeden kąt wielokąta foremnego

W wielokącie foremnym wszystkie kąty wewnętrzne są równe. Jeśli znamy sumę wszystkich kątów, to miarę jednego kąta dostajemy przez podzielenie tej sumy przez liczbę kątów, czyli przez $n$ .

$\alpha=\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}$

Przykład

Oblicz miarę jednego kąta wewnętrznego sześciokąta foremnego.

Rozwiązanie

Sześciokąt ma $n=6$ boków i $6$ kątów.

Korzystamy ze wzoru $\alpha=\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}$ .

Podstawiamy: $\alpha=\frac{(6-2)\cdot 180^\circ}{6}$ .

Liczymy w nawiasie: $6-2=4$ .

Mamy $\alpha=\frac{4\cdot 180^\circ}{6}$ .

Mnożymy: $4\cdot 180^\circ=720^\circ$ .

Dzielimy: $\alpha=\frac{720^\circ}{6}=120^\circ$ .

Jeden kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego ma $120^\circ$ .

Wskazówka

Najpierw policz sumę kątów, potem podziel przez liczbę boków. To zmniejsza ryzyko pomyłki we wzorze.

Uwaga: Nie dziel przez $n-2$ . Liczba $n-2$ mówi, ile powstaje trójkątów, a nie ile jest kątów w wielokącie.

04WYJAŚNIENIE

Kąt środkowy: pełny obrót podzielony na równe części

W wielokącie foremnym można połączyć środek figury z wszystkimi wierzchołkami. Wtedy pełny kąt $360^\circ$ dzieli się na $n$ równych części. Jedna taka część to kąt środkowy.

Pokazać, że kąt środkowy w wielokącie foremnym powstaje przez podzielenie pełnego kąta 360 stopni przez liczbę boków.

$\beta=\frac{360^\circ}{n}$

Przykład

Oblicz miarę kąta środkowego w dziesięciokącie foremnym.

Rozwiązanie

Dziesięciokąt foremny ma $n=10$ boków.

Pełny kąt wokół środka ma $360^\circ$ .

Kąt środkowy liczymy ze wzoru $\beta=\frac{360^\circ}{n}$ .

Podstawiamy: $\beta=\frac{360^\circ}{10}$ .

Dzielimy: $\beta=36^\circ$ .

Kąt środkowy w dziesięciokącie foremnym ma $36^\circ$ .

Zapamiętaj

Kąt środkowy mówi, jaki kąt przypada na jeden bok wielokąta foremnego.

05WYJAŚNIENIE

Obwód wielokąta foremnego

W wielokącie foremnym wszystkie boki są równe. Jeśli jeden bok ma długość $a$ , a boków jest $n$ , to obwód jest równy $n\cdot a$ .

$O=n\cdot a$

Przykład

Oblicz obwód dwunastokąta foremnego o boku $5\ \text{cm}$ .

Rozwiązanie

Dwunastokąt ma $n=12$ boków.

Każdy bok ma długość $a=5$ .

Korzystamy ze wzoru $O=n\cdot a$ .

Podstawiamy: $O=12\cdot 5$ .

Mnożymy: $O=60\ \text{cm}$ .

Obwód wynosi $60\ \text{cm}$ , bo figura ma $12$ równych boków po $5\ \text{cm}$ .

Wskazówka

Uwaga: Nie mnożymy przez liczbę kątów „z pamięci”. Najpierw ustalamy, ile boków ma figura. W $n$ -kącie foremnym liczba boków i liczba kątów jest taka sama, ale do obwodu używamy boków.

06WYJAŚNIENIE

Sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych

Sześciokąt foremny jest bardzo wygodny w zadaniach, bo po połączeniu środka z wierzchołkami dzieli się na sześć trójkątów równobocznych. Każdy z nich ma bok równy bokowi sześciokąta.

Pokazać podział sześciokąta foremnego na sześć trójkątów równobocznych.

$P_{\text{sześciokąta}}=6\cdot P_{\text{trójkąta równobocznego}}$

$P_{\triangle}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$P_{\text{sześciokąta}}=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Przykład

Oblicz pole sześciokąta foremnego o boku $4\ \text{cm}$ .

Rozwiązanie

Sześciokąt foremny dzieli się na $6$ trójkątów równobocznych.

Bok każdego takiego trójkąta ma długość $a=4$ .

Pole trójkąta równobocznego wynosi $P_{\triangle}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ .

Podstawiamy $a=4$ : $P_{\triangle}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}$ .

Liczymy: $P_{\triangle}=\frac{16\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$ .

Mnożymy przez $6$ : $P=6\cdot 4\sqrt{3}=24\sqrt{3}\ \text{cm}^2$ .

Pole sześciokąta foremnego o boku $4\ \text{cm}$ wynosi $24\sqrt{3}\ \text{cm}^2$ .

Wskazówka

Przy sześciokącie foremnym często szybciej myśleć: „sześć trójkątów równobocznych” niż zapamiętywać osobny wzór.

07WYJAŚNIENIE

Jak rozpoznać, którego kąta szuka zadanie?

W zadaniach mogą pojawić się dwa różne kąty: kąt wewnętrzny i kąt środkowy. Kąt wewnętrzny leży przy wierzchołku wielokąta. Kąt środkowy leży w środku figury, między odcinkami poprowadzonymi do sąsiednich wierzchołków.

Odróżnić kąt wewnętrzny od kąta środkowego w wielokącie foremnym.

$\alpha=\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}$

$\beta=\frac{360^\circ}{n}$

Kąt wewnętrzny: liczysz ze wzoru $\alpha=\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}$ .

Kąt środkowy: liczysz ze wzoru $\beta=\frac{360^\circ}{n}$ .

W zadaniu najpierw ustal, gdzie leży szukany kąt.

Przykład

W sześciokącie foremnym oblicz kąt wewnętrzny i kąt środkowy.

Rozwiązanie

Sześciokąt ma $n=6$ boków.

Kąt wewnętrzny liczymy: $\alpha=\frac{(6-2)\cdot 180^\circ}{6}$ .

Otrzymujemy $\alpha=\frac{720^\circ}{6}=120^\circ$ .

Kąt środkowy liczymy: $\beta=\frac{360^\circ}{6}$ .

Otrzymujemy $\beta=60^\circ$ .

W sześciokącie foremnym kąt wewnętrzny ma $120^\circ$ , a kąt środkowy $60^\circ$ . To dwa różne kąty.

Wskazówka

Uwaga: Nie myl kąta środkowego z kątem wewnętrznym. Dla sześciokąta foremnego wartości $60^\circ$ i $120^\circ$ są poprawne, ale dotyczą różnych miejsc w figurze.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Zadania utrwalające

Ile wynosi suma kątów wewnętrznych siedmiokąta?

$540^\circ$

$720^\circ$

$900^\circ$

$1260^\circ$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$900^\circ$

Dla $n=7$ mamy $S=(7-2)\cdot 180^\circ=5\cdot 180^\circ=900^\circ$ .

PYTANIE 02

Zadania utrwalające 2

Ile wynosi jeden kąt wewnętrzny ośmiokąta foremnego?

$45^\circ$

$90^\circ$

$120^\circ$

$135^\circ$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D

$135^\circ$

$\alpha=\frac{(8-2)\cdot 180^\circ}{8}=\frac{1080^\circ}{8}=135^\circ$ .

PYTANIE 03

Zadania utrwalające 3

Ile wynosi kąt środkowy w dwunastokącie foremnym?

$15^\circ$

$30^\circ$

$60^\circ$

$150^\circ$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$30^\circ$

Kąt środkowy to $\beta=\frac{360^\circ}{12}=30^\circ$ .

PYTANIE 04

Zadania utrwalające 4

Obwód pięciokąta foremnego o boku $9\ \text{cm}$ wynosi:

$14\ \text{cm}$

$36\ \text{cm}$

$45\ \text{cm}$

$81\ \text{cm}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$45\ \text{cm}$

Pięciokąt foremny ma $5$ równych boków, więc $O=5\cdot 9=45\ \text{cm}$ .

PYTANIE 05

Zadania utrwalające 5

Sześciokąt foremny o boku $3\ \text{cm}$ dzieli się na sześć trójkątów równobocznych. Jakie jest jego pole?

$\frac{9\sqrt{3}}{4}\ \text{cm}^2$

$\frac{27\sqrt{3}}{2}\ \text{cm}^2$

$18\sqrt{3}\ \text{cm}^2$

$54\sqrt{3}\ \text{cm}^2$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$\frac{27\sqrt{3}}{2}\ \text{cm}^2$

Pole jednego trójkąta równobocznego to $\frac{3^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$ . Sześć takich trójkątów daje $6\cdot \frac{9\sqrt{3}}{4}=\frac{54\sqrt{3}}{4}=\frac{27\sqrt{3}}{2}\ \text{cm}^2$ .

NA KONIEC

Najważniejsze metody z wielokątów foremnych

Wielokąt foremny ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe.

Suma kątów wewnętrznych $n$ -kąta wynosi $S=(n-2)\cdot 180^\circ$ .

Jeden kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ma miarę $\alpha=\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}$ .

Kąt środkowy wielokąta foremnego ma miarę $\beta=\frac{360^\circ}{n}$ .

Obwód wielokąta foremnego liczymy ze wzoru $O=n\cdot a$ .

Sześciokąt foremny można podzielić na sześć trójkątów równobocznych.

W zadaniach najpierw ustal, czy chodzi o bok, kąt wewnętrzny, kąt środkowy, obwód czy pole.