Równoległobok i romb - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji przejdziesz od prostokąta do figur, które mogą być „pochylone”: równoległoboku i rombu. Nauczysz się rozpoznawać podstawę, wysokość, bok i przekątne, bo właśnie te elementy decydują o wyborze wzoru.

Plan tej lekcji

Najpierw zobaczysz, czym równoległobok różni się od prostokąta.

Potem policzysz pole równoległoboku ze wzoru $P=a\cdot h$ .

Następnie uporządkujesz własności rombu.

Na końcu przećwiczysz zadania z bokami, wysokościami i przekątnymi.

Na start

W równoległoboku wysokość nie musi być bokiem figury.

W rombie wszystkie boki są równe, ale kąty nie muszą być proste.

Po tej lekcji:

Po tej lekcji uczeń umie rozpoznawać równoległobok i romb oraz obliczać ich pola, obwody i brakujące długości.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Równoległobok ma dwie pary boków równoległych

Równoległobok wygląda jak pochylony prostokąt. Ma dwie pary boków równoległych. Przeciwległe boki są równe, a przeciwległe kąty mają równe miary.

Pokazać dwie pary boków równoległych w równoległoboku.

$AB\parallel CD$

$AD\parallel BC$

Przeciwległe boki równoległoboku są równoległe.

Przeciwległe boki równoległoboku mają równe długości.

Przeciwległe kąty równoległoboku mają równe miary.

Sąsiednie kąty równoległoboku sumują się do $180^\circ$ .

Zapamiętaj

Równoległobok nie musi mieć kątów prostych.

02WYJAŚNIENIE

Pole równoległoboku zależy od podstawy i wysokości

Pole równoległoboku liczymy podobnie jak pole prostokąta: podstawa razy wysokość. Różnica jest taka, że wysokość to odcinek prostopadły do podstawy, a nie ukośny bok równoległoboku.

Pokazać, że wysokość równoległoboku jest prostopadła do podstawy.

$P=a\cdot h$

Przykład

Równoległobok ma podstawę $10\ \text{cm}$ i wysokość opuszczoną na tę podstawę $6\ \text{cm}$ . Oblicz jego pole.

Rozwiązanie

Podstawa ma długość $a=10$ .

Wysokość opuszczona na tę podstawę ma długość $h=6$ .

Korzystamy ze wzoru $P=a\cdot h$ .

Podstawiamy: $P=10\cdot 6$ .

Mnożymy: $P=60\ \text{cm}^2$ .

Pole wynosi $60\ \text{cm}^2$ . W rachunku użyliśmy wysokości, nie długości ukośnego boku.

Wskazówka

Uwaga: Najczęstszy błąd to podstawienie do wzoru ukośnego boku zamiast wysokości. Wysokość musi tworzyć z podstawą kąt prosty.

03WYJAŚNIENIE

Obwód równoległoboku liczymy z boków, nie z wysokości

Obwód równoległoboku to suma długości boków. Jeżeli sąsiednie boki mają długości $a$ i $b$ , to każdy z nich występuje dwa razy.

$O=2a+2b=2(a+b)$

Przykład

Równoległobok ma boki długości $11\ \text{cm}$ i $7\ \text{cm}$ . Oblicz jego obwód.

Rozwiązanie

Sąsiednie boki mają długości $a=11$ i $b=7$ .

W równoległoboku przeciwległe boki są równe, więc każdy z tych boków występuje dwa razy.

Korzystamy ze wzoru $O=2(a+b)$ .

Podstawiamy: $O=2(11+7)$ .

Liczymy: $O=2\cdot 18=36\ \text{cm}$ .

Obwód równoległoboku wynosi $36\ \text{cm}$ .

Wskazówka

Uwaga: Wysokość nie jest bokiem równoległoboku, więc nie dodajemy jej do obwodu.

04WYJAŚNIENIE

Romb: równoległobok z czterema równymi bokami

Romb jest szczególnym równoległobokiem. Ma dwie pary boków równoległych i dodatkowo wszystkie cztery boki są równe. Nie musi być kwadratem, bo jego kąty nie muszą mieć $90^\circ$ .

Pokazać, że romb ma cztery równe boki, ale nie musi mieć kątów prostych.

$a=a=a=a$

$O=4a$

Przykład

Romb ma bok długości $8\ \text{cm}$ . Oblicz jego obwód.

Rozwiązanie

W rombie wszystkie boki są równe.

Jeden bok ma długość $a=8$ .

Obwód rombu liczymy ze wzoru $O=4a$ .

Podstawiamy: $O=4\cdot 8$ .

Liczymy: $O=32\ \text{cm}$ .

Obwód rombu wynosi $32\ \text{cm}$ , bo romb ma cztery boki po $8\ \text{cm}$ .

Zapamiętaj

Każdy romb jest równoległobokiem.

Nie każdy równoległobok jest rombem.

05WYJAŚNIENIE

Pole rombu można liczyć jak pole równoległoboku

Romb jest równoległobokiem, więc jego pole można obliczyć ze wzoru: bok razy wysokość opuszczona na ten bok. Wysokość nadal musi być prostopadła do podstawy.

$P=a\cdot h$

Przykład

Romb ma bok $13\ \text{cm}$ , a wysokość opuszczona na ten bok ma $5\ \text{cm}$ . Oblicz pole rombu.

Rozwiązanie

Podstawa rombu ma długość $a=13$ .

Wysokość opuszczona na tę podstawę ma długość $h=5$ .

Korzystamy ze wzoru $P=a\cdot h$ .

Podstawiamy: $P=13\cdot 5$ .

Liczymy: $P=65\ \text{cm}^2$ .

Pole rombu wynosi $65\ \text{cm}^2$ . Długość boku sama nie wystarczyłaby do obliczenia pola, gdybyśmy nie znali wysokości.

Wskazówka

Uwaga: Nie zakładaj, że wysokość rombu jest równa bokowi. Tak jest tylko wtedy, gdy romb jest kwadratem.

06WYJAŚNIENIE

Pole rombu z przekątnych

Romb ma jeszcze jeden bardzo wygodny wzór na pole. Jeśli znamy długości przekątnych, to pole jest równe połowie ich iloczynu.

Pokazać, że pole rombu można policzyć z przekątnych e i f.

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą na połowy. Powstają cztery trójkąty, każdy o polu $\frac12\cdot\frac e2\cdot\frac f2=\frac{ef}{8}$ . Razem mają pole $4\cdot\frac{ef}{8}=\frac{ef}{2}$ .

$P=\frac{e\cdot f}{2}$

Przykład

Przekątne rombu mają długości $10\ \text{cm}$ i $16\ \text{cm}$ . Oblicz pole rombu.

Rozwiązanie

Oznaczamy przekątne: $e=10$ , $f=16$ .

Korzystamy ze wzoru $P=\frac{e\cdot f}{2}$ .

Podstawiamy: $P=\frac{10\cdot 16}{2}$ .

Najpierw mnożymy: $10\cdot 16=160$ .

Dzielimy przez $2$ : $P=80\ \text{cm}^2$ .

Pole rombu wynosi $80\ \text{cm}^2$ . Ten sposób jest najlepszy, gdy w zadaniu podano obie przekątne.

Wskazówka

Jeśli w zadaniu o rombie widzisz dwie przekątne, zwykle najkrótszą drogą jest wzór $P=\frac{e\cdot f}{2}$ .

07WYJAŚNIENIE

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy. To pozwala tworzyć w rombie trójkąty prostokątne.

Pokazać trójkąt prostokątny powstały z połówek przekątnych rombu i boku rombu.

$\frac{e}{2},\quad \frac{f}{2}$

$a^2=\left(\frac{e}{2}\right)^2+\left(\frac{f}{2}\right)^2$

Przykład

Przekątne rombu mają długości $12\ \text{cm}$ i $16\ \text{cm}$ . Oblicz długość boku rombu.

Rozwiązanie

Przekątne rombu dzielą się na połowy.

Połówki przekątnych mają długości $\frac{12}{2}=6$ i $\frac{16}{2}=8$ .

Połówki przekątnych oraz bok rombu tworzą trójkąt prostokątny.

Bok rombu jest przeciwprostokątną, więc $a^2=6^2+8^2$ .

Liczymy: $a^2=36+64=100$ .

Pierwiastkujemy: $a=10\ \text{cm}$ .

Bok rombu ma długość $10\ \text{cm}$ . W zadaniu ukrył się trójkąt prostokątny $6,8,10$ .

Wskazówka

Uwaga: Nie podstawiaj całych przekątnych do twierdzenia Pitagorasa. W trójkącie prostokątnym używasz połówek przekątnych.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Zadania utrwalające

Równoległobok ma podstawę $14\ \text{cm}$ i wysokość $3\ \text{cm}$ . Jakie jest jego pole?

$17\ \text{cm}^2$

$34\ \text{cm}^2$

$42\ \text{cm}^2$

$84\ \text{cm}^2$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$42\ \text{cm}^2$

Pole równoległoboku to $P=a\cdot h=14\cdot 3=42\ \text{cm}^2$ .

PYTANIE 02

Zadania utrwalające 2

Równoległobok ma boki $9\ \text{cm}$ i $4\ \text{cm}$ . Jaki jest jego obwód?

$13\ \text{cm}$

$26\ \text{cm}$

$36\ \text{cm}$

$72\ \text{cm}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$26\ \text{cm}$

Obwód równoległoboku to $O=2(a+b)=2(9+4)=26\ \text{cm}$ .

PYTANIE 03

Zadania utrwalające 3

Romb ma bok $7\ \text{cm}$ . Jaki jest jego obwód?

$14\ \text{cm}$

$21\ \text{cm}$

$28\ \text{cm}$

$49\ \text{cm}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$28\ \text{cm}$

Romb ma cztery równe boki, więc $O=4a=4\cdot 7=28\ \text{cm}$ .

PYTANIE 04

Zadania utrwalające 4

Przekątne rombu mają długości $8\ \text{cm}$ i $15\ \text{cm}$ . Jakie jest pole rombu?

$23\ \text{cm}^2$

$46\ \text{cm}^2$

$60\ \text{cm}^2$

$120\ \text{cm}^2$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$60\ \text{cm}^2$

Pole rombu z przekątnych to $P=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{8\cdot 15}{2}=60\ \text{cm}^2$ .

PYTANIE 05

Zadania utrwalające 5

Przekątne rombu mają długości $6\ \text{cm}$ i $8\ \text{cm}$ . Jaki jest bok rombu?

$5\ \text{cm}$

$7\ \text{cm}$

$10\ \text{cm}$

$14\ \text{cm}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$5\ \text{cm}$

Połówki przekątnych mają długości $3$ i $4$ . Bok rombu spełnia $a^2=3^2+4^2=25$ , więc $a=5\ \text{cm}$ .

NA KONIEC

Najważniejsze metody z równoległoboku i rombu

Równoległobok ma dwie pary boków równoległych.

Pole równoległoboku liczymy ze wzoru $P=a\cdot h$ .

Wysokość jest prostopadła do podstawy i nie musi być bokiem figury.

Obwód równoległoboku to $O=2(a+b)$ .

Romb ma wszystkie boki równe, więc jego obwód to $O=4a$ .

Pole rombu można liczyć jako $P=a\cdot h$ albo $P=\frac{e\cdot f}{2}$ .

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy, dlatego często używamy twierdzenia Pitagorasa.