Prostokąt i kwadrat - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się pracować z prostokątem i kwadratem tak, jak pojawiają się one w zadaniach maturalnych: z bokami, polem, obwodem i przekątną. Najpierw uporządkujemy własności figur, potem przejdziemy do wzorów, a na końcu połączymy je z twierdzeniem Pitagorasa.

Plan tej lekcji

Najpierw rozpoznasz, które własności ma prostokąt, a które dodatkowo ma kwadrat.

Potem policzysz obwód i pole z długości boków.

Następnie użyjesz przekątnej jako przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym.

Na końcu przećwiczysz zadania, w których trzeba wybrać właściwy wzór.

Na start

Kwadrat jest prostokątem, ale prostokąt nie zawsze jest kwadratem.

Przekątna prostokąta bardzo często oznacza w zadaniu ukryte użycie twierdzenia Pitagorasa.

Po tej lekcji:

Po tej lekcji uczeń umie obliczać obwód, pole i przekątną prostokąta oraz kwadratu, a także rozpoznawać, kiedy kwadrat jest szczególnym przypadkiem prostokąta.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Prostokąt: cztery kąty proste

Prostokąt ma cztery kąty proste. Dwa przeciwległe boki mają tę samą długość. Dlatego zwykle opisujemy go przez dwa wymiary: długość $a$ i szerokość $b$ .

Pokazać, że prostokąt opisujemy dwoma wymiarami: bokiem a i bokiem b.

$a>0,\quad b>0$

Przeciwległe boki prostokąta są równe.

Każdy kąt prostokąta ma miarę $90^\circ$ .

Sąsiednie boki prostokąta mogą mieć różne długości.

Zapamiętaj

Prostokąt ma dwa wymiary: $a$ i $b$ .

02WYJAŚNIENIE

Obwód prostokąta: idziesz dookoła figury

Obwód to suma długości wszystkich boków. W prostokącie bok $a$ występuje dwa razy i bok $b$ też występuje dwa razy.

$O=a+b+a+b=2a+2b=2(a+b)$

Przykład

Prostokąt ma boki długości $7\ \text{cm}$ i $4\ \text{cm}$ . Oblicz jego obwód.

Rozwiązanie

Oznaczamy boki: $a=7$ , $b=4$ .

Korzystamy ze wzoru na obwód prostokąta: $O=2(a+b)$ .

Podstawiamy liczby: $O=2(7+4)$ .

Najpierw liczymy w nawiasie: $7+4=11$ .

Mnożymy przez $2$ : $O=22\ \text{cm}$ .

Obwód wynosi $22\ \text{cm}$ , bo dookoła prostokąta są dwa boki po $7\ \text{cm}$ i dwa boki po $4\ \text{cm}$ .

Wskazówka

Uwaga: Nie licz $7+4$ jako obwodu. To tylko suma dwóch sąsiednich boków, czyli połowa obwodu prostokąta.

03WYJAŚNIENIE

Pole prostokąta: liczysz, ile mieści się kwadratów jednostkowych

Pole prostokąta obliczamy przez pomnożenie długości jednego boku przez długość drugiego boku. Jeśli prostokąt ma wymiary $a$ i $b$ , to tworzy siatkę $a$ na $b$ .

Pokazać, że pole prostokąta to liczba jednostkowych kwadratów w układzie a na b.

$P=a\cdot b$

Przykład

Oblicz pole prostokąta o bokach $8\ \text{cm}$ i $5\ \text{cm}$ .

Rozwiązanie

Oznaczamy boki: $a=8$ , $b=5$ .

Pole prostokąta liczymy ze wzoru $P=a\cdot b$ .

Podstawiamy: $P=8\cdot 5$ .

Mnożymy: $P=40\ \text{cm}^2$ .

Pole wynosi $40\ \text{cm}^2$ , czyli w takim prostokącie zmieściłoby się $40$ kwadratów o boku $1\ \text{cm}$ .

Zapamiętaj

Przy obwodzie dodajesz boki.

Przy polu mnożysz dwa sąsiednie boki.

04WYJAŚNIENIE

Kwadrat: prostokąt z czterema równymi bokami

Kwadrat ma wszystkie własności prostokąta, czyli cztery kąty proste i równe przeciwległe boki. Ma jednak coś więcej: wszystkie cztery boki są równe.

Pokazać, że kwadrat ma cztery równe boki i cztery kąty proste.

$a=a=a=a$

Obwód kwadratu: $O=4a$ .

Pole kwadratu: $P=a^2$ .

Kwadrat jest prostokątem, bo ma cztery kąty proste.

Kwadrat jest też rombem, bo ma cztery równe boki.

Przykład

Kwadrat ma bok $9\ \text{cm}$ . Oblicz jego obwód i pole.

Rozwiązanie

Bok kwadratu ma długość $a=9$ .

Obwód liczymy ze wzoru $O=4a$ .

Podstawiamy: $O=4\cdot 9=36\ \text{cm}$ .

Pole liczymy ze wzoru $P=a^2$ .

Podstawiamy: $P=9^2=81\ \text{cm}^2$ .

Obwód opisuje długość dookoła kwadratu, a pole opisuje powierzchnię w jego środku.

Wskazówka

Uwaga: Wzór $P=a^2$ oznacza $a\cdot a$ , a nie $2a$ . Dla $a=9$ pole to $81$ , nie $18$ .

05WYJAŚNIENIE

Przekątna prostokąta tworzy trójkąt prostokątny

Przekątna prostokąta łączy dwa przeciwległe wierzchołki. Dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne. Dlatego do przekątnej używamy twierdzenia Pitagorasa.

Pokazać, że przekątna prostokąta jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym.

$d^2=a^2+b^2$

Przykład

Prostokąt ma boki $6\ \text{cm}$ i $8\ \text{cm}$ . Oblicz długość przekątnej.

Rozwiązanie

Przekątna jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego.

Boki prostokąta są przyprostokątnymi: $a=6$ , $b=8$ .

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa: $d^2=a^2+b^2$ .

Podstawiamy: $d^2=6^2+8^2$ .

Liczymy kwadraty: $d^2=36+64=100$ .

Pierwiastkujemy: $d=10\ \text{cm}$ .

Przekątna ma długość $10\ \text{cm}$ , bo tworzy z bokami prostokąta trójkąt prostokątny $6,8,10$ .

Zapamiętaj

Gdy widzisz przekątną prostokąta, szukaj trójkąta prostokątnego.

06WYJAŚNIENIE

Przekątna kwadratu ma specjalny wzór

W kwadracie oba boki przy przekątnej mają tę samą długość $a$ . Dlatego wzór z Pitagorasa upraszcza się do jednego często używanego wzoru.

Pokazać, skąd bierze się wzór d=a pierwiastek{2} na przekątną kwadratu.

$d^2=a^2+a^2=2a^2$

$d=a\sqrt{2}$

Przykład

Kwadrat ma bok $5\ \text{cm}$ . Oblicz długość przekątnej.

Rozwiązanie

W kwadracie przekątna ma wzór $d=a\sqrt{2}$ .

Bok kwadratu ma długość $a=5$ .

Podstawiamy: $d=5\sqrt{2}\ \text{cm}$ .

Nie zamieniamy tego na przybliżenie, jeśli zadanie nie wymaga przybliżenia.

Dokładna długość przekątnej to $5\sqrt{2}\ \text{cm}$ .

Wskazówka

Uwaga: Nie zapisuj przekątnej kwadratu jako $2a$ . Przekątna jest dłuższa od boku, ale krótsza niż suma dwóch boków.

07WYJAŚNIENIE

Gdy znasz przekątną kwadratu, możesz znaleźć bok

Czasem zadanie podaje przekątną kwadratu, a pyta o bok albo pole. Wtedy zaczynamy od wzoru $d=a\sqrt{2}$ i przekształcamy go.

$d=a\sqrt{2}$

$a=\frac{d}{\sqrt{2}}$

Przykład

Przekątna kwadratu ma długość $8\sqrt{2}\ \text{cm}$ . Oblicz pole kwadratu.

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru na przekątną kwadratu: $d=a\sqrt{2}$ .

Podstawiamy daną przekątną: $8\sqrt{2}=a\sqrt{2}$ .

Dzielimy obie strony przez $\sqrt{2}$ : $a=8$ .

Pole kwadratu liczymy ze wzoru $P=a^2$ .

Podstawiamy: $P=8^2=64\ \text{cm}^2$ .

Skoro przekątna wynosi $8\sqrt{2}$ , to bok kwadratu wynosi $8$ , a pole $64\ \text{cm}^2$ .

Wskazówka

Jeśli przekątna kwadratu ma postać „liczba razy $\sqrt{2}$ ”, to ta liczba bardzo często jest długością boku.

Uwaga: Nie podstawiaj przekątnej bezpośrednio do wzoru $P=a^2$ . Pole kwadratu liczymy z boku, nie z przekątnej.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Zadania utrwalające

Prostokąt ma boki $12\ \text{cm}$ i $5\ \text{cm}$ . Jaki jest jego obwód?

$17\ \text{cm}$

$34\ \text{cm}$

$60\ \text{cm}$

$24\ \text{cm}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$34\ \text{cm}$

Obwód prostokąta to $O=2(a+b)=2(12+5)=34\ \text{cm}$ .

PYTANIE 02

Zadania utrwalające 2

Pole kwadratu wynosi $49\ \text{cm}^2$ . Jaka jest długość jego boku?

$7\ \text{cm}$

$14\ \text{cm}$

$24{,}5\ \text{cm}$

$49\ \text{cm}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$7\ \text{cm}$

Dla kwadratu $P=a^2$ , więc $a^2=49$ . Stąd $a=7\ \text{cm}$ .

PYTANIE 03

Zadania utrwalające 3

Prostokąt ma boki $9\ \text{cm}$ i $12\ \text{cm}$ . Jaka jest długość jego przekątnej?

$15\ \text{cm}$

$18\ \text{cm}$

$21\ \text{cm}$

$144\ \text{cm}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$15\ \text{cm}$

$d^2=9^2+12^2=81+144=225$ , więc $d=15\ \text{cm}$ .

PYTANIE 04

Zadania utrwalające 4

Kwadrat ma bok $6\ \text{cm}$ . Jaka jest długość jego przekątnej?

$6\sqrt{2}\ \text{cm}$

$12\ \text{cm}$

$36\ \text{cm}$

$3\sqrt{2}\ \text{cm}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$6\sqrt{2}\ \text{cm}$

Przekątna kwadratu ma wzór $d=a\sqrt{2}$ , więc $d=6\sqrt{2}\ \text{cm}$ .

NA KONIEC

Najważniejsze metody z prostokąta i kwadratu

Prostokąt o bokach $a$ i $b$ ma obwód $O=2(a+b)$ .

Prostokąt o bokach $a$ i $b$ ma pole $P=a\cdot b$ .

Kwadrat o boku $a$ ma obwód $O=4a$ i pole $P=a^2$ .

Przekątna prostokąta spełnia zależność $d^2=a^2+b^2$ .

Przekątna kwadratu ma długość $d=a\sqrt{2}$ .

Przy zadaniach z przekątną najpierw narysuj trójkąt prostokątny, a dopiero potem podstawiaj liczby.