Obliczanie wyrazów ciągu - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będzie w tej lekcji?

W tej lekcji będziesz podstawiać konkretne numery do wzoru ciągu. Policzysz pojedynczy wyraz, wypiszesz kilka pierwszych wyrazów i sprawdzisz, czy podana liczba może pojawić się w ciągu.

Na start

najpierw wybierasz numer wyrazu

potem podstawiasz go za $n$

na końcu interpretujesz wynik

Po tej lekcji:

obliczysz wyraz ciągu przez podstawienie numeru
wypiszesz kilka początkowych wyrazów
sprawdzisz, czy liczba jest wyrazem ciągu

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Podstaw numer wyrazu

Jeśli chcesz obliczyć siódmy wyraz, do wzoru podstawiasz $n=7$ .

$a_n=5n-2$

$a_7=5\cdot 7-2$

$a_7=33$

Wskazówka

Nie podstawiamy $a=7$ . Numer wyrazu podstawiamy za $n$ .

02WYJAŚNIENIE

Kilka pierwszych wyrazów

Żeby wypisać początek ciągu, podstawiamy po kolei pierwsze numery wyrazów.

Tabela podstawiania numerów do wzoru a n równa się n kwadrat plus jeden.

$a_n=n^2+1$

$a_1=2,\quad a_2=5,\quad a_3=10,\quad a_4=17$

03WYJAŚNIENIE

Zaczynamy od pierwszego wyrazu

W szkolnych zadaniach, jeśli nie podano inaczej, pierwszy wyraz ciągu ma numer $1$ .

$a_n=2n+4$

$a_1=2\cdot 1+4=6$

$a_0$ liczymy tylko wtedy, gdy zadanie wyraźnie na to pozwala

04WYJAŚNIENIE

Wzór może zawierać ułamek

Przy ułamkach robimy ten sam ruch: podstawiamy numer za $n$ i dopiero wtedy upraszczamy wynik.

$a_n=\frac{n+1}{n}$

$a_1=\frac{2}{1}=2$

$a_2=\frac{3}{2},\quad a_4=\frac{5}{4}$

05WYJAŚNIENIE

Czy liczba jest wyrazem ciągu?

Gdy pytanie dotyczy konkretnej wartości, przyrównujemy wzór do tej wartości i sprawdzamy, czy dostajemy naturalny numer wyrazu.

Schemat sprawdzania, czy liczby dwadzieścia i dwadzieścia jeden są wyrazami ciągu trzy n plus dwa.

$a_n=3n+2$

$20=3n+2\Rightarrow n=6$ , więc $20$ jest wyrazem ciągu

$21=3n+2\Rightarrow n=\frac{19}{3}$ , więc $21$ nie jest wyrazem tego ciągu

Wskazówka

Numer wyrazu musi pasować do numerowania ciągu. Ułamek dodatni nie wystarczy, bo nie wskazuje miejsca na liście.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Obliczanie wyrazu

Dany jest ciąg $a_n=4n+1$ . Ile wynosi $a_3$ ?

$13$

$12$

$9$

$16$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$13$

Podstawiamy $n=3$ : $a_3=4\cdot 3+1=13$ .

PYTANIE 02

Początek ciągu

Jakie są pierwsze trzy wyrazy ciągu $a_n=2n^2$ ?

$2,\ 4,\ 6$

$2,\ 8,\ 18$

$1,\ 4,\ 9$

$4,\ 8,\ 12$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$2,\ 8,\ 18$

Liczymy kolejno: $a_1=2,\ a_2=8,\ a_3=18$ .

PYTANIE 03

Ułamek we wzorze

Dany jest ciąg $a_n=\frac{2n}{n+1}$ . Ile wynosi $a_1$ ?

$1$

$\frac{1}{2}$

$2$

$\frac{2}{3}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$1$

$a_1=\frac{2\cdot 1}{1+1}=\frac{2}{2}=1$ .

PYTANIE 04

Czy to wyraz ciągu?

Czy liczba $17$ jest wyrazem ciągu $a_n=5n+2$ ?

tak, to trzeci wyraz

tak, to piąty wyraz

nie, bo numer wyszedł ujemny

nie, bo numer wyszedł ułamkiem

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

tak, to trzeci wyraz

Sprawdzamy: $17=5n+2$ , więc $n=3$ . To naturalny numer wyrazu.

NA KONIEC

Schemat obliczania

Przy wzorze ogólnym najważniejsze jest podstawienie numeru wyrazu za $n$ . Gdy sprawdzasz, czy liczba jest wyrazem ciągu, szukasz numeru $n$ i oceniasz, czy może być numerem miejsca w ciągu.

Zapamiętaj

$a_5$ liczysz przez podstawienie $n=5$

pierwsze wyrazy zwykle mają numery $1,\ 2,\ 3,\ldots$

wynik równania musi dać dozwolony numer wyrazu