Ciąg określony rekurencyjnie - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będzie w tej lekcji?

W tej lekcji zobaczysz ciąg opisany przez pierwszy wyraz i regułę przejścia do następnego. Nauczysz się liczyć takie ciągi po kolei oraz rozpoznawać, kiedy we wzorze trzeba użyć poprzedniego wyrazu.

Na start

rekurencja potrzebuje punktu startu

kolejny wyraz liczysz z poprzedniego

nie przeskakujesz od razu do dalekiego wyrazu

Po tej lekcji:

odczytasz pierwszy wyraz i regułę rekurencyjną
obliczysz kolejne wyrazy krok po kroku
odróżnisz wzór rekurencyjny od wzoru ogólnego

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Start i reguła przejścia

Opis rekurencyjny podaje pierwszy wyraz i mówi, jak z jednego wyrazu dostać następny.

Schemat rekurencji, w której każdy następny wyraz powstaje przez dodanie trzech.

$a_1=2$

$a_{n+1}=a_n+3$

$a_2=5,\quad a_3=8,\quad a_4=11$

02WYJAŚNIENIE

Liczymy bez przeskakiwania

W rekurencji najpierw liczysz drugi wyraz, potem trzeci, potem czwarty. Każdy krok opiera się na wyniku z poprzedniego kroku.

$a_1=4$

$a_{n+1}=a_n+2$

$a_2=6,\quad a_3=8,\quad a_4=10$

Wskazówka

Tu nie podstawiasz od razu $n=4$ do całego wzoru. Najpierw trzeba znać wcześniejsze wyrazy.

03WYJAŚNIENIE

Reguła może mnożyć

Nie każda rekurencja dodaje tę samą liczbę. Czasem następny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego.

$a_1=3$

$a_{n+1}=2a_n$

$a_2=6,\quad a_3=12,\quad a_4=24$

04WYJAŚNIENIE

Reguła może zależeć od numeru kroku

Jeśli w regule pojawia się $n$ , to przy każdym przejściu używamy numeru poprzedniego wyrazu.

$a_1=1$

$a_{n+1}=a_n+n$

$a_2=a_1+1=2$

$a_3=a_2+2=4$

$a_4=a_3+3=7$

Wskazówka

Żeby policzyć $a_4$ , używasz kroku $n=3$ , bo wzór przechodzi z $a_3$ do $a_4$ .

05WYJAŚNIENIE

Rekurencja a wzór ogólny

Wzór ogólny liczy wyraz bezpośrednio z jego numeru. Wzór rekurencyjny liczy go przez wcześniejsze wyrazy.

$a_n=2n+1$ to wzór ogólny

$a_1=3,\quad a_{n+1}=a_n+2$ to opis rekurencyjny

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Pierwszy krok

Dany jest ciąg $a_1=4,\ a_{n+1}=a_n+5$ . Ile wynosi $a_2$ ?

$5$

$9$

$14$

$20$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$9$

Drugi wyraz liczymy z pierwszego: $a_2=a_1+5=4+5=9$ .

PYTANIE 02

Mnożenie poprzedniego wyrazu

Dany jest ciąg $a_1=2,\ a_{n+1}=3a_n$ . Ile wynosi $a_3$ ?

$6$

$18$

$12$

$24$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$18$

Najpierw $a_2=3\cdot 2=6$ , potem $a_3=3\cdot 6=18$ .

PYTANIE 03

Reguła z numerem kroku

Dany jest ciąg $a_1=1,\ a_{n+1}=a_n+n$ . Ile wynosi $a_3$ ?

$2$

$3$

$4$

$5$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$4$

Liczymy po kolei: $a_2=a_1+1=2$ , a potem $a_3=a_2+2=4$ .

PYTANIE 04

Rozpoznawanie rekurencji

Który zapis określa ciąg rekurencyjnie?

$a_n=5n-2$

$a_1=5,\quad a_{n+1}=a_n-2$

$a_n=n^2+1$

$a_n=\frac{1}{n}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$a_1=5,\quad a_{n+1}=a_n-2$

Rekurencja podaje wyraz początkowy i regułę przejścia do następnego wyrazu: $a_1=5,\ a_{n+1}=a_n-2$ .

NA KONIEC

Jak czytać rekurencję?

Opis rekurencyjny zaczyna od znanego wyrazu i podaje regułę liczenia następnego. Każdy kolejny wynik staje się podstawą do następnego kroku.

Zapamiętaj

$a_1$ to punkt startu

$a_{n+1}$ oznacza następny wyraz po $a_n$

dalsze wyrazy liczysz krok po kroku