Pojęcie ciągu i wzór ogólny - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będzie w tej lekcji?

W tej lekcji potraktujesz ciąg jak uporządkowaną listę liczb. Nauczysz się odczytywać zapis $a_n$ , podstawiać numer wyrazu do wzoru ogólnego i pilnować, że w ciągu kolejność ma znaczenie.

Na start

ciąg ma wyrazy ustawione po kolei

$a_n$ oznacza wyraz o numerze $n$

wzór ogólny pozwala obliczać wybrane wyrazy

Po tej lekcji:

rozpoznasz ciąg jako uporządkowaną listę liczb
odczytasz zapis wyrazu ciągu
obliczysz wyraz ze wzoru ogólnego

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Ciąg to lista z numerami

Ciąg to liczby ustawione w określonej kolejności. Każda liczba ma swój numer, więc możemy mówić o pierwszym, trzecim albo piątym wyrazie.

Pięć wyrazów ciągu z oddzielnie pokazanymi numerami i wartościami.

$2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ldots$

$a_1=2,\quad a_3=6,\quad a_5=10$

Zapamiętaj

numer mówi, które miejsce w ciągu wybieramy

wartość mówi, jaka liczba stoi na tym miejscu

02WYJAŚNIENIE

Jak czytać zapis wyrazu?

Mała liczba przy literze wskazuje numer wyrazu. Nie jest mnożnikiem ani potęgą.

$a_1$ to pierwszy wyraz ciągu

$a_2$ to drugi wyraz ciągu

$a_n$ to wyraz o numerze $n$

Wskazówka

Zapis $a_4$ nie oznacza liczby $4$ . Oznacza czwarty wyraz ciągu.

03WYJAŚNIENIE

Wzór ogólny działa jak przepis

Wzór ogólny mówi, jak z numeru wyrazu obliczyć jego wartość. Do wzoru podstawiamy numer, którego szukamy.

Schemat pokazujący, że numer n wchodzi do wzoru a n równa się trzy n plus jeden.

$a_n=3n+1$

$a_1=3\cdot 1+1=4$

$a_5=3\cdot 5+1=16$

04WYJAŚNIENIE

Kolejność ma znaczenie

Te same liczby mogą tworzyć różne ciągi, jeśli stoją w innej kolejności.

$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ldots$ rośnie

$4,\ 3,\ 2,\ 1,\ldots$ maleje

Zapamiętaj

ciąg to nie tylko zbiór liczb, lecz także ich kolejność

05WYJAŚNIENIE

Ciąg może się kończyć albo trwać dalej

Ciąg skończony ma ostatni wyraz. W ciągu nieskończonym wielokropek oznacza, że lista biegnie dalej według tej samej zasady.

$3,\ 6,\ 9,\ 12$ to ciąg skończony

$3,\ 6,\ 9,\ 12,\ldots$ to ciąg nieskończony

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Odczytanie wyrazu

Dany jest ciąg $4,\ 7,\ 10,\ 13,\ldots$ . Ile wynosi $a_3$ ?

$7$

$10$

$13$

$3$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$10$

$a_3$ to trzeci wyraz ciągu. Trzecia liczba na liście to $10$ .

PYTANIE 02

Wzór ogólny

Dany jest ciąg o wzorze $a_n=2n-1$ . Ile wynosi $a_4$ ?

$6$

$7$

$8$

$9$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$7$

Podstawiamy numer wyrazu: $a_4=2\cdot 4-1=7$ .

PYTANIE 03

Znaczenie symbolu

Co oznacza zapis $a_6$ ?

szósty wyraz ciągu

sześć wyrazów ciągu

ciąg o wartości $6$

różnicę ciągu

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

szósty wyraz ciągu

$a_6$ oznacza wyraz stojący na szóstym miejscu w ciągu.

NA KONIEC

Najważniejsze pojęcia

Ciąg to uporządkowana lista liczb. Zapis $a_n$ oznacza wyraz o numerze $n$ , a wzór ogólny pozwala obliczyć wartość tego wyrazu po podstawieniu numeru.

Zapamiętaj

$a_1$ to pierwszy wyraz

$a_n$ to wyraz o numerze $n$

w ciągu liczy się kolejność