Monotoniczność ciągu w prostych przypadkach - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będzie w tej lekcji?

W tej lekcji będziesz porównywać kolejne wyrazy ciągu. Nauczysz się rozpoznawać ciągi rosnące, malejące, stałe i niemonotoniczne, a na prostych wzorach sprawdzisz znak różnicy kolejnych wyrazów.

Na start

porównujesz sąsiednie wyrazy

zmiana w jedną stronę daje monotoniczność

zmiana kierunku psuje monotoniczność

Po tej lekcji:

rozpoznasz ciąg rosnący, malejący i stały
wskażesz ciąg niemonotoniczny
użyjesz różnicy kolejnych wyrazów w prostych wzorach

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Trzy podstawowe zachowania

Monotoniczność mówi, jak zachowują się kolejne wyrazy: idą w górę, w dół albo zostają na tym samym poziomie.

Trzy małe diagramy pokazujące ciąg rosnący, malejący i stały.

$a_{n+1}>a_n$ dla każdego kolejnego kroku: ciąg rosnący

$a_{n+1}<a_n$ dla każdego kolejnego kroku: ciąg malejący

$a_{n+1}=a_n$ dla każdego kolejnego kroku: ciąg stały

02WYJAŚNIENIE

Rozpoznawanie z listy

Gdy masz wypisane wyrazy, porównuj je po kolei. Wystarczy jeden krok w przeciwną stronę, żeby ciąg nie był monotoniczny. Kilka pierwszych wyrazów pokazuje tylko początek ciągu. O zachowaniu całego ciągu nieskończonego wnioskujemy z podanej reguły, a nie z samego wielokropka.

$3,\ 6,\ 9,\ 12,\ldots$ jest rosnący

$10,\ 7,\ 4,\ 1,\ldots$ jest malejący

$5,\ 5,\ 5,\ 5,\ldots$ jest stały

Wskazówka

Dodatnie wyrazy nie oznaczają automatycznie, że ciąg rośnie. Liczy się porównanie z poprzednim wyrazem.

03WYJAŚNIENIE

Zmiana kierunku

Ciąg niemonotoniczny raz rośnie, a raz maleje. Nie da się opisać go jednym stałym kierunkiem zmian.

Diagram ciągu, którego wartości najpierw rosną, potem maleją, a potem znowu rosną.

$1,\ 4,\ 2,\ 5,\ldots$ nie jest monotoniczny

$1<4$ , ale $4>2$

04WYJAŚNIENIE

Różnica kolejnych wyrazów

Dla prostych wzorów możesz policzyć różnicę między następnym i poprzednim wyrazem. Jej znak mówi, w którą stronę idą wartości.

Schemat pokazujący dodatnią różnicę kolejnych wyrazów ciągu.

$a_n=2n+1$

$a_{n+1}=2(n+1)+1=2n+3$

$a_{n+1}-a_n=(2n+3)-(2n+1)=2$

$2>0$ , więc ciąg jest rosnący

05WYJAŚNIENIE

Ujemna różnica oznacza spadek

Jeśli różnica następnego i poprzedniego wyrazu jest ujemna, każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego.

$a_n=10-3n$

$a_{n+1}=10-3(n+1)=7-3n$

$a_{n+1}-a_n=(7-3n)-(10-3n)=-3$

$a_n=5$ nie zależy od numeru wyrazu, więc każdy wyraz ma wartość $5$ .

NA KONIEC

Jak sprawdzać monotoniczność?

Porównuj kolejne wyrazy. Jeśli przez cały czas rosną, ciąg jest rosnący; jeśli maleją, jest malejący; jeśli są równe, jest stały. Zmiana kierunku oznacza brak monotoniczności.

Zapamiętaj

$a_{n+1}>a_n$ oznacza wzrost

$a_{n+1}<a_n$ oznacza spadek

$a_{n+1}-a_n$ pomaga sprawdzić prosty wzór