Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

O czym jest ta lekcja?

Nauczysz się liczyć dowolny wyraz ciągu geometrycznego bez wypisywania wszystkich wcześniejszych wyrazów.Zobaczysz, skąd bierze się potęga przy ilorazie i jak używać tego samego wzoru do szukania brakujących danych.

Po tej lekcji:

korzystasz ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego
rozumiesz, dlaczego we wzorze jest wykładnik n minus 1
obliczasz dalszy wyraz, pierwszy wyraz albo iloraz
pamiętasz o nawiasie przy ujemnym ilorazie

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Liczba mnożeń jest o jeden mniejsza

Od pierwszego wyrazu do drugiego wykonujesz jedno mnożenie, do trzeciego dwa mnożenia, a do czwartego trzy mnożenia.

Schemat wyrazów ciągu z liczbą mnożeń przez q od a1 do an.

$a_{2}=a_{1}q$ $a_{3}=a_{1}q^2$ $a_{4}=a_{1}q^3$

Dla wyrazu o numerze $n$ liczba mnożeń wynosi $n-1$

02WYJAŚNIENIE

Wzór na wyraz ogólny

W ciągu geometrycznym wyraz o numerze $n$ liczymy ze wzoru $a_{n}=a_{1}q^{n-1}$

$a_1$ to pierwszy wyraz ciągu.

$q$ to iloraz ciągu.

$n-1$ to liczba kroków od pierwszego wyrazu.

Wskazówka

Najczęstszy błąd to wpisanie wykładnika $n$ zamiast $n-1$

03WYJAŚNIENIE

Obliczanie dalszego wyrazu

W ciągu geometrycznym mamy $a_1=5$ oraz $q=3$ Obliczmy czwarty wyraz.

$a_4=5\cdot 3^{4-1}$

$a_4=5\cdot 3^3$

$a_4=5\cdot 27=135$

Zapamiętaj

Czwarty wyraz jest oddalony od pierwszego o trzy mnożenia przez $3$

04WYJAŚNIENIE

Ułamkowy iloraz w tym samym wzorze

Gdy iloraz jest ułamkiem, wzór działa tak samo, tylko potęgujemy ułamek.

Dla $a_1=64$ i $q=\frac{1}{2}$ liczymy piąty wyraz.

$a_5=64\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5-1}$

$a_5=64\cdot \frac{1}{16}=4$

05WYJAŚNIENIE

Szukamy pierwszego wyrazu

Jeśli znamy dalszy wyraz i iloraz, używamy tego samego wzoru, ale rozwiązujemy równanie.

Dane są $q=2$ oraz $a_5=48$

$48=a_1\cdot 2^{5-1}$

$48=16a_1$

$a_1=3$

06WYJAŚNIENIE

Szukamy ilorazu

Gdy znamy pierwszy i dalszy wyraz, iloraz pojawia się w potędze. Przy parzystej potędze ilorazu mogą być dwa wyniki. Na przykład $a_1=2$ , $a_3=18$ daje $q^2=9$ , czyli $q=3$ lub $q=-3$ , o ile treść nie wymaga dodatnich wyrazów.

Dane są $a_1=2$ oraz $a_4=54$

$54=2q^{4-1}$

$q^3=27$

$q=3$

Wskazówka

Jeśli treść pyta o dodatni iloraz, wybierasz dodatnią wartość.

07WYJAŚNIENIE

Ujemny iloraz zapisuj w nawiasie

Dla pierwszego wyrazu $7$ i ilorazu $-2$ wzór ogólny ma postać $a_n=7\cdot (-2)^{n-1}$

Zapamiętaj

Nawias sprawia, że potęgujesz cały ujemny iloraz, a nie tylko liczbę $2$

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Piąty wyraz

W ciągu geometrycznym $a_1=4$ oraz $q=2$ Wyraz $a_5$ jest równy:

$64$

$16$

$32$

$128$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$64$

Od pierwszego do piątego wyrazu są cztery mnożenia przez 2, więc wynik to 64.

PYTANIE 02

Pierwszy wyraz

W ciągu geometrycznym $q=3$ i $a_4=54$ Pierwszy wyraz wynosi:

$2$

$3$

$6$

$18$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$2$

Czwarty wyraz jest 27 razy większy od pierwszego, więc pierwszy wyraz to 2.

PYTANIE 03

Wzór ogólny

Wzór ogólny ciągu geometrycznego o $a_1=5$ i $q=-3$ to:

$a_n=5\cdot (-3)^{n-1}$

$a_n=5\cdot (-3)^n$

$a_n=-3\cdot 5^{n-1}$

$a_n=5-3(n-1)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$a_n=5\cdot (-3)^{n-1}$

Wzór ma pierwszy wyraz, iloraz w nawiasie i wykładnik o jeden mniejszy od numeru wyrazu.

NA KONIEC

Najważniejsze wnioski

Wyraz ciągu geometrycznego liczysz ze wzoru $a_{n}=a_{1}q^{n-1}$ Wykładnik $n-1$ oznacza liczbę mnożeń od pierwszego wyrazu do wyrazu o numerze $n$ Jeśli $q=0$ , pierwszy wyraz to po prostu podane $a_1$ , a wszystkie następne są zerami; nie podstawiaj wtedy $n=1$ do zapisu z $0^0$ .