Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

O czym jest ta lekcja?

Nauczysz się liczyć sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego: najpierw przez wypisanie wyrazów, a potem ze wzoru.Osobno przećwiczysz przypadek, w którym iloraz jest równy jeden, bo wtedy wzoru z mianownikiem nie wolno użyć.

Po tej lekcji:

rozumiesz, co oznacza suma pierwszych n wyrazów
liczysz sumę przez wypisanie początkowych wyrazów
stosujesz wzór na sumę przy ilorazie różnym od 1
oddzielasz przypadek q równego 1 od wzoru z ułamkiem

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Co oznacza suma początkowych wyrazów?

Symbol $S_n$ oznacza sumę od pierwszego wyrazu do wyrazu o numerze $n$

Pierwsze cztery wyrazy ciągu 2, 6, 18, 54 objęte klamrą jako suma S4.

$S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n$

$S_4=2+6+18+54=80$

Zapamiętaj

Dla kilku początkowych wyrazów wypisanie ich bywa najprostsze i najmniej ryzykowne.

02WYJAŚNIENIE

Wzór na sumę

Gdy wyrazów jest więcej, korzystamy ze wzoru na sumę pierwszych $n$ wyrazów ciągu geometrycznego. $S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$ przy warunku $q\ne 1$ Skąd wzór? Zapisz $S_n=a_1+a_1q+\ldots+a_1q^{n-1}$ i pomnóż całość przez $q$ . Po odjęciu $qS_n$ od $S_n$ środkowe składniki się znoszą: $(1-q)S_n=a_1(1-q^n)$ . Dzielimy przez $1-q$ , dlatego wymagamy $q\ne1$ .

$a_1$ to pierwszy wyraz.

$q$ to iloraz ciągu.

$n$ to liczba dodawanych wyrazów.

Wskazówka

W tym wzorze w potędze jest $n$ a nie $n-1$

03WYJAŚNIENIE

Podstawienie do wzoru

Obliczmy sumę pierwszych pięciu wyrazów dla $a_1=3$ i $q=2$

$S_5=3\frac{1-2^5}{1-2}$

$S_5=3\frac{1-32}{-1}$

$S_5=93$

Pierwsze wyrazy to $3,6,12,24,48$ a ich suma rzeczywiście wynosi $93$

04WYJAŚNIENIE

Druga wersja wzoru

Dla ilorazu większego od $1$ często wygodna jest równoważna wersja z dodatnim mianownikiem. $S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}$

Dla $a_1=2$ i $q=3$ mamy $S_4=2\frac{3^4-1}{3-1}=80$

Zapamiętaj

Obie wersje są poprawne dla $q\ne 1$ Wybierz jedną i pilnuj znaków.

05WYJAŚNIENIE

Gdy iloraz jest równy jeden

Jeśli iloraz jest równy $1$ wszystkie wyrazy są takie same.

Ciąg stały 4, 4, 4, 4, 4 z mnożeniem przez 1 i wzorem na sumę.

$S_n=n\cdot a_1$

Dla sześciu wyrazów równych $4$ dostajemy $S_6=6\cdot 4=24$

Wskazówka

Nie podstawiaj $q=1$ do wzoru z mianownikiem $1-q$

06WYJAŚNIENIE

Ułamkowy i ujemny iloraz

Przy małej liczbie wyrazów często szybciej wypisać ciąg niż używać wzoru.

Dla $a_1=16$ i $q=\frac{1}{2}$ mamy $S_4=16+8+4+2=30$

Dla $a_1=2$ i $q=-2$ pierwsze pięć wyrazów to $2,-4,8,-16,32$

$S_5=2-4+8-16+32=22$

Wskazówka

Przy ujemnym ilorazie pilnuj znaków kolejnych potęg.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Suma przez wypisanie

Suma pierwszych czterech wyrazów ciągu $1,2,4,8,\ldots$ wynosi:

$15$

$8$

$12$

$16$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$15$

Dodajemy pierwsze cztery wyrazy: 1, 2, 4 i 8.

PYTANIE 02

Przypadek q równego 1

Dla ciągu geometrycznego o $a_1=3$ oraz $q=1$ suma pierwszych siedmiu wyrazów wynosi:

$21$

$3$

$7$

$10$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$21$

Wszystkie wyrazy są równe 3, więc siedem takich wyrazów daje 21.

PYTANIE 03

Wybór wzoru

Który wzór można zastosować do sumy pierwszych $n$ wyrazów ciągu geometrycznego przy $q\ne 1$ ?

$S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$

$a_{n}=a_{1}q^{n-1}$

$S_n=a_1+nq$

$S_n=na_1$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$

To wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego dla ilorazu różnego od 1.

NA KONIEC

Najważniejsze wnioski

Suma $S_n$ oznacza dodanie pierwszych $n$ wyrazów. Dla $q\ne 1$ możesz użyć wzoru $S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$ a dla $q=1$ liczysz $S_n=n\cdot a_1$