Rozpoznawanie ciągu geometrycznego - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

O czym jest ta lekcja?

W tej lekcji nauczysz się rozpoznawać ciąg geometryczny po tym, że każdy następny wyraz powstaje przez mnożenie przez tę samą liczbę.Policzysz iloraz ciągu, porównasz go ze stałą różnicą i sprawdzisz przypadki, w których wyrazy maleją albo zmieniają znak.

Na start

Najważniejsze pytanie brzmi: czy między kolejnymi wyrazami jest ten sam mnożnik?

Po tej lekcji:

rozpoznajesz ciąg geometryczny po stałym mnożniku
obliczasz iloraz ciągu z kolejnych wyrazów
odróżniasz stały mnożnik od stałej różnicy
sprawdzasz przykłady z ułamkowym i ujemnym ilorazem

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Ciąg geometryczny powstaje przez mnożenie

W ciągu $3,6,12,24$ każdy kolejny wyraz dostajemy przez pomnożenie poprzedniego przez $2$

Ciąg 3, 6, 12, 24 z jednakowymi strzałkami mnożenia przez 2.

Ogólna reguła brzmi $a_{n+1}=qa_n$ dla każdego kolejnego wyrazu. Obejmuje także $q=0$ : np. $5,0,0,\ldots$ . Wtedy nie badamy wszystkich ilorazów, bo nie wolno dzielić przez zero.

$6=3\cdot 2$

$12=6\cdot 2$

$24=12\cdot 2$

Zapamiętaj

Stały mnożnik nazywamy ilorazem ciągu i oznaczamy literą $q$

02WYJAŚNIENIE

Iloraz liczymy przez dzielenie

Jeśli poprzedni wyraz nie jest zerem, iloraz można policzyć jako następny wyraz podzielony przez poprzedni. $q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$

Dla ciągu $5,15,45,135$ sprawdzamy kolejne ilorazy.

$\frac{15}{5}=3$ $\frac{45}{15}=3$ $\frac{135}{45}=3$

Iloraz jest stały, więc ciąg jest geometryczny.

Wskazówka

Nie wystarczy sprawdzić jednej pary. Stały mnożnik musi działać między wszystkimi kolejnymi wyrazami, które porównujesz.

03WYJAŚNIENIE

Stała różnica to nie to samo

Ciąg $4,7,10,13$ zmienia się regularnie, ale przez dodawanie, nie przez mnożenie.

$7-4=3$ $10-7=3$ $13-10=3$

$\frac{7}{4}\ne \frac{10}{7}$

Ten ciąg ma stałą różnicę, więc nie jest geometryczny.

Zapamiętaj

Ciąg geometryczny sprawdzasz przez dzielenie kolejnych wyrazów, nie przez odejmowanie.

04WYJAŚNIENIE

Iloraz może być ułamkiem

Dla dodatniego pierwszego wyrazu i ilorazu między $0$ a $1$ kolejne wyrazy maleją. Przykładem jest $64,32,16,8$ . Przy ujemnym pierwszym wyrazie ten sam mnożnik daje wzrost ku zeru, np. $-8,-4,-2,-1$ .

Ciąg 64, 32, 16, 8 z mnożeniem przez jedną drugą.

$\frac{32}{64}=\frac{1}{2}$ $\frac{16}{32}=\frac{1}{2}$ $\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$

Każdy następny wyraz jest połową poprzedniego.

05WYJAŚNIENIE

Iloraz może być ujemny

Gdy iloraz jest ujemny, znaki wyrazów zmieniają się na przemian. To nadal może być ciąg geometryczny.

Ciąg 2, -6, 18, -54 z mnożeniem przez -3 i naprzemienną zmianą znaków.

$\frac{-6}{2}=-3$ $\frac{18}{-6}=-3$ $\frac{-54}{18}=-3$

Iloraz jest stały, więc ciąg jest geometryczny.

Wskazówka

Zmiana znaków nie przekreśla ciągu geometrycznego. Decyduje stały iloraz.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Rozpoznanie ciągu

Który ciąg jest geometryczny?

$3,9,27,81$

$2,5,8,11$

$1,4,9,16$

$10,8,6,4$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$3,9,27,81$

Każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez 3.

PYTANIE 02

Iloraz ciągu

Iloraz ciągu $4,20,100,500$ wynosi:

$5$

$4$

$20$

$25$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$5$

Każdy kolejny wyraz jest 5 razy większy od poprzedniego.

PYTANIE 03

Ujemny iloraz

Czy ciąg $5,-10,20,-40$ jest geometryczny?

tak, $q=-2$

tak, $q=2$

nie, bo znaki się zmieniają

nie, bo wyrazy nie są dodatnie

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

tak, $q=-2$

Kolejne wyrazy powstają przez mnożenie przez -2.

NA KONIEC

Najważniejsze wnioski

Ciąg geometryczny rozpoznajesz po stałym mnożniku między kolejnymi wyrazami. Iloraz oznaczamy literą $q$ i zwykle liczymy ze wzoru $q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$ Iloraz może być dodatni, ułamkowy albo ujemny. Iloraz kolejnych wyrazów obliczaj tylko przy $a_n\ne0$ . Definicją jest $a_{n+1}=q a_n$ ; obejmuje ona też ciągi z zerami, np. dla $q=0$ .