Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się obliczać dowolny wyraz ciągu arytmetycznego bez wypisywania wszystkich wcześniejszych wyrazów.

Na start

$a_n$ oznacza n-ty wyraz

we wzorze pojawia się $n-1$ , bo tyle jest skoków

wzór pomaga też znaleźć $a_1$ , $r$ albo $n$

Po tej lekcji:

obliczysz dowolny wyraz ciągu arytmetycznego
wyznaczysz różnicę z dwóch wyrazów
sprawdzisz, czy liczba jest wyrazem ciągu

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Od pierwszego wyrazu do kolejnych

Do drugiego wyrazu dodajesz różnicę raz, do trzeciego dwa razy, do czwartego trzy razy.

Schemat punktów a1, a2, a3, a4 ze skokami plus trzy i wzorem na n-ty wyraz.

$a_2=a_1+r$

$a_3=a_1+2r$

$a_4=a_1+3r$

$a_n=a_1+(n-1)r$

PRZYKŁAD

Rozwiązanie

Dla $a_1=5$ i $r=3$ początek ciągu to $5,\ 8,\ 11,\ 14$ .

02WYJAŚNIENIE

Wzór na n-ty wyraz

Wzór pozwala od razu policzyć dowolny wyraz ciągu arytmetycznego. Nie trzeba wypisywać wszystkich wcześniejszych wyrazów.

Porównanie poprawnego użycia dziewięciu skoków dla a10 z błędem użycia dziesięciu skoków.

W przykładzie dane są $a_1=4$ i $r=6$ , a szukamy $a_{10}$ . Od pierwszego do dziesiątego wyrazu wykonujemy dziewięć skoków, dlatego mnożymy różnicę przez $10-1$ .

$a_n=a_1+(n-1)r$

$a_{10}=4+(10-1)\cdot6=58$

Wskazówka

We wzorze jest $n-1$ , nie $n$ . Do dziesiątego wyrazu wykonujemy $9$ skoków.

03WYJAŚNIENIE

Ciąg malejący we wzorze

Wzór działa tak samo, gdy różnica jest ujemna. Wtedy dodajesz liczbę ujemną, czyli w praktyce odejmujesz.

$a_8=30+(8-1)\cdot(-4)$

$a_8=30-28=2$

Zapamiętaj

Ujemną różnicę podstawiaj z nawiasem.

04WYJAŚNIENIE

Znajdowanie różnicy z dwóch wyrazów

Jeśli znasz dwa wyrazy ciągu arytmetycznego, policz liczbę skoków między nimi i podziel przez nią całą zmianę.

Pięć skoków od a3 równego 10 do a8 równego 25 oraz wzór r równe 15 przez 5.

Dane to $a_3=10$ i $a_8=25$ . Między wyrazami trzecim a ósmym jest pięć skoków, a łączny przyrost wynosi $15$ . Stąd jeden skok ma wielkość $15:5=3$ .

$a_n=a_k+(n-k)r$

$r=\frac{a_n-a_k}{n-k}$

$r=\frac{25-10}{8-3}=3$

Zapamiętaj

Między $a_k$ i $a_n$ jest $n-k$ skoków.

05WYJAŚNIENIE

Znajdowanie pierwszego wyrazu

Gdy znasz dalszy wyraz i różnicę, cofasz się o odpowiednią liczbę skoków.

Cofanie od a7 równego 22 sześć skoków po trzy do a1 równego 4.

Dane są $a_7=22$ i $r=3$ . Cofamy się o sześć różnic: $a_1=22-6\cdot3=4$ .

$22=a_1+(7-1)\cdot3$

$22=a_1+18$

$a_1=4$

Wskazówka

Myśl: cofam się od $a_n$ o $n-1$ różnic.

06WYJAŚNIENIE

Czy dana liczba jest wyrazem ciągu?

Podstaw daną liczbę jako a_n i sprawdź, czy numer n wyjdzie dodatnią liczbą naturalną.

$47=5+(n-1)\cdot6\Rightarrow n=8$

$50=5+(n-1)\cdot6\Rightarrow n=8{,}5$

Wskazówka

Numer wyrazu nie może być ułamkiem.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Oblicz wyraz

W ciągu arytmetycznym $a_1=7$ , $r=4$ . Wyraz $a_6$ wynosi:

$24$

$27$

$31$

$35$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$27$

$a_6=7+(6-1)\cdot4=7+20=27$ .

PYTANIE 02

Ujemna różnica

W ciągu arytmetycznym $a_1=20$ , $r=-3$ . Wyraz $a_5$ wynosi:

$8$

$11$

$17$

$35$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$8$

$a_5=20+(5-1)\cdot(-3)=20-12=8$ .

PYTANIE 03

Różnica z dwóch wyrazów

W ciągu arytmetycznym $a_2=6$ , $a_6=18$ . Różnica wynosi:

$2$

$3$

$4$

$12$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$3$

Od $a_2$ do $a_6$ są $4$ skoki. Zmiana to $12$ , więc $r=3$ .

PYTANIE 04

Numer wyrazu

W ciągu $a_1=3$ , $r=5$ . Liczba $38$ jest: Zakładamy, że ciąg jest arytmetyczny.

siódmym wyrazem

ósmym wyrazem

dziewiątym wyrazem

nie jest wyrazem

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

ósmym wyrazem

$38=3+(n-1)\cdot5$ , więc $n=8$ .

PYTANIE 05

Wzór

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego to:

$a_n=a_1+nr$

$a_n=a_1+(n-1)r$

$a_n=a_1\cdot r^{n-1}$

$a_n=\frac{a_1+a_n}{2}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$a_n=a_1+(n-1)r$

Od pierwszego do n-tego wyrazu wykonujemy $n-1$ skoków.

NA KONIEC

Podsumowanie

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego pozwala liczyć dalsze wyrazy, różnicę, pierwszy wyraz albo numer wyrazu.

Zapamiętaj

$a_n=a_1+(n-1)r$

$r=\frac{a_n-a_k}{n-k}$

Do $a_n$ wykonujesz $n-1$ skoków od $a_1$ .