Rozpoznawanie ciągu arytmetycznego - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się rozpoznawać ciąg arytmetyczny po tym, że między kolejnymi wyrazami zawsze jest ta sama różnica. Zobaczysz ciągi rosnące, malejące i stałe.

Na start

ciąg arytmetyczny ma stałą różnicę

różnicę liczysz jako kolejny minus poprzedni

trzeba sprawdzić wszystkie kolejne różnice

Po tej lekcji:

rozpoznasz ciąg arytmetyczny po stałej różnicy
obliczysz różnicę ciągu
uzupełnisz brakujące wyrazy

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Ciąg to uporządkowana lista liczb

Ciąg to lista liczb ustawionych w określonej kolejności. Liczby w ciągu nazywamy wyrazami ciągu.

Cztery kolejne wyrazy ciągu z podpisami a1, a2, a3, a4.

$a_1,\\ a_2,\\ a_3,\\ a_4,\ldots$

$a_1=4,\quad a_2=7,\quad a_3=10,\quad a_4=13$

Wskazówka

Nie myl $a_3$ z liczbą $3$ . To trzeci wyraz ciągu.

02WYJAŚNIENIE

Różnica ciągu arytmetycznego

W ciągu arytmetycznym do kolejnego wyrazu dochodzimy zawsze przez dodanie tej samej liczby. Tę liczbę nazywamy różnicą ciągu i oznaczamy literą r.

$r=a_{n+1}-a_n$

$8-5=3$

$11-8=3$

$14-11=3$

Zapamiętaj

Różnica to odejmowanie: kolejny wyraz minus poprzedni.

03WYJAŚNIENIE

Ciąg arytmetyczny na osi liczbowej

Ciąg arytmetyczny można zobaczyć na osi jako równe skoki. Jeśli kolejne punkty są oddalone o tyle samo, różnica jest stała.

Oś liczbowa z punktami 2, 5, 8, 11 i trzema równymi skokami plus trzy.

$2,\ 5,\ 8,\ 11,\ldots$

$r=3$

04WYJAŚNIENIE

Jak sprawdzić, czy ciąg jest arytmetyczny?

Nie wystarczy sprawdzić jednej różnicy. Trzeba porównać różnice między każdą parą kolejnych wyrazów.

Ciąg 3, 7, 11, 16 z różnicami plus cztery, plus cztery, plus pięć.

Tutaj sprawdzamy cztery wyrazy: $3,7,11,16$ . Ostatnia różnica jest inna, więc nie tworzą ciągu arytmetycznego. Dla ciągu nieskończonego zgodność kilku początkowych różnic nie jest dowodem — trzeba znać regułę albo wykazać stałość $a_{n+1}-a_n$ dla każdego $n$ .

$7-3=4$

$11-7=4$

$16-11=5$

Wskazówka

Pierwsze dwa skoki takie same to jeszcze nie dowód. Sprawdź wszystkie podane różnice.

05WYJAŚNIENIE

Ciąg malejący i stały też mogą być arytmetyczne

Różnica może być dodatnia, ujemna albo równa zero. Każdy z tych przypadków może tworzyć ciąg arytmetyczny.

Dwie karty pokazujące ciąg malejący o różnicy minus trzy i stały o różnicy zero.

$20,\ 17,\ 14,\ 11,\ldots,\quad r=-3$

$6,\ 6,\ 6,\ 6,\ldots,\quad r=0$

Zapamiętaj

Ciąg arytmetyczny nie musi rosnąć.

06WYJAŚNIENIE

Uzupełnianie brakującego wyrazu

Jeśli znasz różnicę ciągu arytmetycznego, możesz uzupełniać brakujące wyrazy przez dodawanie albo odejmowanie tej samej liczby.

Ciąg 4, 9, brak, 19 uzupełniony przez stały skok plus pięć.

$9-4=5$

$9+5=14$

$19-14=5$

PRZYKŁAD

Rozwiązanie

Brakujący wyraz w ciągu $4,\ 9,\ \square,\ 19$ to $14$ .

Wskazówka

Gdy brakuje wyrazu między dwiema liczbami, możesz policzyć średnią arytmetyczną.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Rozpoznawanie

Który ciąg jest arytmetyczny?

$2,\ 5,\ 8,\ 11$

$2,\ 4,\ 8,\ 16$

$1,\ 3,\ 6,\ 10$

$5,\ 7,\ 10,\ 14$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$2,\ 5,\ 8,\ 11$

W ciągu $2,\ 5,\ 8,\ 11$ każda kolejna różnica wynosi $3$ .

PYTANIE 02

Różnica ujemna

Różnica ciągu $15,\ 11,\ 7,\ 3,\ldots$ wynosi:

$4$

$-4$

$3$

$-3$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$-4$

Liczymy kolejny minus poprzedni: $11-15=-4$ .

PYTANIE 03

Ciąg stały

Ciąg $6,\ 6,\ 6,\ 6,\ldots$ :

nie jest arytmetyczny

jest arytmetyczny o różnicy $0$

jest arytmetyczny o różnicy $6$

jest geometryczny, ale nie arytmetyczny

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

jest arytmetyczny o różnicy $0$

Każda różnica kolejnych wyrazów wynosi $6-6=0$ .

PYTANIE 04

Brakujący wyraz

Brakujący wyraz ciągu arytmetycznego $3,\ 8,\ \square,\ 18$ to:

$10$

$12$

$13$

$15$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$13$

Różnica wynosi $8-3=5$ , więc trzeci wyraz to $8+5=13$ .

PYTANIE 05

Niearytmetyczny

Ciąg $4,\ 9,\ 15,\ 20$ nie jest arytmetyczny, ponieważ:

ma cztery wyrazy

zawiera liczby dodatnie

różnice kolejnych wyrazów nie są jednakowe

pierwszy wyraz jest parzysty

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

różnice kolejnych wyrazów nie są jednakowe

Różnice wynoszą $5$ , $6$ , $5$ , więc nie są stałe.

NA KONIEC

Podsumowanie

Ciąg arytmetyczny to ciąg, w którym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała.

Zapamiętaj

$r=a_{n+1}-a_n$

$r>0$ ciąg rośnie

$r<0$ ciąg maleje

$r=0$ ciąg jest stały