Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się szybko dodawać wiele początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Zamiast dodawać po kolei, użyjesz wzoru na sumę.

Na start

$S_n$ oznacza sumę pierwszych n wyrazów

pierwsze i ostatnie wyrazy dobrze łączą się w pary

gdy nie znasz $a_n$ , najpierw je oblicz

Po tej lekcji:

odróżnisz S_n od a_n
obliczysz sumę ze wzoru z pierwszym i ostatnim wyrazem
użyjesz wzoru na sumę z różnicą

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Co oznacza S_n?

Symbol S_n oznacza sumę pierwszych n wyrazów ciągu. Na przykład S_5 to suma od a_1 do a_5.

Porównanie a5 jako piątego wyrazu i S5 jako sumy pięciu wyrazów.

$S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n$

$S_5=2+5+8+11+14=40$

Wskazówka

Nie myl $S_5$ z $a_5$ .

02WYJAŚNIENIE

Skąd bierze się wzór na sumę?

Zapisz sumę dwa razy: raz od pierwszego wyrazu, a raz w odwrotnej kolejności. W każdej kolumnie suma wynosi $a_1+a_n$ , a kolumn jest $n$ . Dodaliśmy jednak dwie kopie sumy, więc $2S_n=n(a_1+a_n)$ . Dzieląc przez dwa, otrzymujemy wzór. Działa także przy nieparzystej liczbie wyrazów — środkowy wyraz liczymy wtedy dwa razy.

Wyrazy 2, 5, 8, 11, 14 połączone w pary o tej samej sumie 16.

$2+14=16$

$5+11=16$

$8+8=16$

Zapamiętaj

Średnia pierwszego i ostatniego wyrazu jest średnią całego ciągu arytmetycznego.

03WYJAŚNIENIE

Wzór z pierwszym i ostatnim wyrazem

Najczęściej używany wzór wykorzystuje pierwszy wyraz, ostatni wyraz i liczbę dodawanych wyrazów.

$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

$S_{10}=\frac{10(3+39)}{2}=210$

PRZYKŁAD

Rozwiązanie

Dla $S_{10}$ ostatnim wyrazem w sumie jest $a_{10}$ .

04WYJAŚNIENIE

Gdy trzeba najpierw obliczyć a_n

Często znamy pierwszy wyraz i różnicę, ale nie znamy ostatniego wyrazu potrzebnego do sumy.

Dwa kroki: najpierw oblicz a8 równe 25, potem S8 równe 116.

Dane są $a_1=4$ , $r=3$ ; szukamy sumy ośmiu wyrazów. Najpierw wyznaczamy ostatni z dodawanych wyrazów, czyli $a_8$ .

$a_8=4+7\cdot3=25$

$S_8=\frac{8(4+25)}{2}=116$

Wskazówka

Jeśli w zadaniu są dane $a_1$ , $r$ i $n$ , najpierw zapytaj: czy znam $a_n$ ?

05WYJAŚNIENIE

Wzór na sumę z różnicą

Można użyć wzoru, który od razu wykorzystuje a_1, r i n. To ten sam wzór z podstawionym a_n.

$S_n=\frac{n}{2}\left(2a_1+(n-1)r\right)$

$S_8=\frac{8}{2}\left(2\cdot4+7\cdot3\right)=116$

Zapamiętaj

Wybierasz wzór, który pasuje do danych w zadaniu.

06WYJAŚNIENIE

Suma ciągu malejącego

Wzory na sumę działają również dla ciągu malejącego. Różnica może być ujemna.

$a_6=20+(6-1)\cdot(-2)=10$

$S_6=\frac{6(20+10)}{2}=90$

Wskazówka

Ujemną różnicę podstawiaj z nawiasem, żeby nie zgubić minusa.

07WYJAŚNIENIE

Średnia pierwszego i ostatniego wyrazu

Wzór na sumę można rozumieć jako liczba wyrazów razy średnia pierwszego i ostatniego wyrazu.

$S_n=n\cdot\frac{a_1+a_n}{2}$

$S_{12}=12\cdot\frac{6+50}{2}=336$

Zapamiętaj

Czasem najłatwiej policzyć sumę jako liczba wyrazów razy średnia pary skrajnej.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Suma z a1 i an

W ciągu arytmetycznym $a_1=2$ i $a_6=17$ . Ile wynosi suma $S_6$ ?

$57$

$60$

$66$

$114$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$57$

$S_6=\frac{6(2+17)}{2}=3\cdot19=57$ .

PYTANIE 02

Najpierw a10

W ciągu arytmetycznym $a_1=5$ , $r=2$ . Wyraz $a_{10}$ wynosi:

$20$

$23$

$25$

$27$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$23$

$a_{10}=5+(10-1)\cdot2=23$ .

PYTANIE 03

Suma S10

W ciągu arytmetycznym $a_1=5$ , $r=2$ . Suma $S_{10}$ wynosi:

$100$

$120$

$140$

$280$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$140$

Mamy $a_{10}=23$ , więc $S_{10}=\frac{10(5+23)}{2}=140$ .

PYTANIE 04

Znaczenie wzoru

Wzór $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$ oznacza:

sumę pierwszego i ostatniego wyrazu

sumę pierwszych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego

tylko $n$ -ty wyraz ciągu

różnicę ciągu

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

sumę pierwszych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego

Symbol $S_n$ oznacza sumę pierwszych $n$ wyrazów.

PYTANIE 05

Suma malejąca

Ciąg arytmetyczny ma $a_1=12$ i różnicę $r=-1$ . Ile wynosi suma pierwszych pięciu wyrazów?

$40$

$45$

$50$

$60$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$50$

Pierwsze pięć wyrazów to $12,\ 11,\ 10,\ 9,\ 8$ . Suma wynosi $50$ .

NA KONIEC

Podsumowanie

Suma pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego to S_n. Najczęściej liczysz ją ze wzoru z pierwszym i ostatnim wyrazem.

Zapamiętaj

$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

$a_n=a_1+(n-1)r$

$S_n=\frac{n}{2}\left(2a_1+(n-1)r\right)$

Nie myl $S_n$ z $a_n$ .