Zadania z ciągiem arytmetycznym - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji przećwiczysz wybór metody w zadaniach z ciągiem arytmetycznym. Najpierw wypisujesz dane, potem decydujesz, czy szukasz wyrazu, sumy, różnicy czy numeru.

Na start

pojedynczy wyraz: wzór na $a_n$

suma: wzór na $S_n$

trzy kolejne liczby: równe różnice

Po tej lekcji:

wybierzesz wzór do typu pytania
rozwiążesz zadania tekstowe z ciągiem arytmetycznym
użyjesz równości różnic dla trzech liczb

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Najpierw rozpoznaj dane

W zadaniu najpierw wypisz dane symbolami. To zmniejsza ryzyko, że użyjesz złego wzoru.

Schemat decyzji: wyraz an czy suma Sn i odpowiedni wzór.

$a_1$

$r$

$a_n$

$S_n$

PRZYKŁAD

Rozwiązanie

Jeśli pytają o $a_{15}$ , używasz wzoru na pojedynczy wyraz, a nie wzoru na sumę.

02WYJAŚNIENIE

Zadanie o dalszym wyrazie

W ciągu arytmetycznym pierwszy wyraz wynosi sześć, a różnica cztery. Oblicz piętnasty wyraz. Gdy pytanie dotyczy konkretnego wyrazu, używamy wzoru na a_n.

$a_{15}=6+(15-1)\cdot4$

$a_{15}=62$

Wskazówka

Nie licz $6+15\cdot4$ . Od pierwszego do piętnastego wyrazu jest $14$ przejść.

03WYJAŚNIENIE

Zadanie z dwoma znanymi wyrazami

Jeśli znasz dwa wyrazy, ale nie znasz różnicy, najpierw oblicz r. Dopiero potem licz to, o co pytają.

Schemat liczenia różnicy przez podzielenie zmiany przez liczbę skoków.

Dane są $a_4=11$ oraz $a_{10}=29$ ; szukamy pierwszego wyrazu. Między czwartym a dziesiątym wyrazem jest sześć różnic, więc $29-11=6r$ . Po wyznaczeniu $r$ cofamy się z czwartego wyrazu o trzy różnice.

$r=\frac{29-11}{10-4}=3$

$11=a_1+3\cdot3$

$a_1=2$

Zapamiętaj

Między $a_k$ i $a_n$ jest $n-k$ skoków.

04WYJAŚNIENIE

Zadanie o sumie bez podanego ostatniego wyrazu

Jeśli zadanie pyta o sumę, a nie podaje ostatniego wyrazu sumy, najpierw obliczamy ten ostatni wyraz.

Dwa kroki przy sumie: najpierw ostatni wyraz, potem suma.

Dane są $a_1=8$ i $r=5$ , a celem jest $S_{12}$ . Liczba $63$ to dwunasty wyraz, nie suma.

$a_{12}=8+(12-1)\cdot5=63$

$S_{12}=\frac{12(8+63)}{2}=426$

Wskazówka

W zadaniach o sumie często pracujesz w dwóch krokach: najpierw $a_n$ , potem $S_n$ .

05WYJAŚNIENIE

Zadanie tekstowe o oszczędzaniu

W pierwszym tygodniu odkładasz dwadzieścia złotych, a w każdym następnym o pięć złotych więcej. Oblicz kwotę odłożoną w dziesiątym tygodniu i łączną kwotę po dziesięciu tygodniach.

Porównanie pytania o dziesiąty tydzień z pytaniem o łączną kwotę przez dziesięć tygodni.

$a_1=20,\quad r=5$

$a_{10}=20+9\cdot5=65$

$S_{10}=\frac{10(20+65)}{2}=425$

Wskazówka

„Ile w dziesiątym tygodniu?” to $a_{10}$ . „Ile łącznie przez 10 tygodni?” to $S_{10}$ .

06WYJAŚNIENIE

Zadanie o trzech kolejnych wyrazach

Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego mają sumę trzydzieści sześć, a pierwszy z nich wynosi osiem. Oblicz różnicę tego ciągu. Trzy kolejne wyrazy można wygodnie zapisać od podanego pierwszego wyrazu.

Trzy kolejne wyrazy zapisane jako x minus r, x, x plus r.

$x-r,\quad x,\quad x+r$

$8,\quad 8+r,\quad 8+2r$

$8+(8+r)+(8+2r)=36$

$r=4$

Zapamiętaj

Suma zapisu $x-r,\ x,\ x+r$ od razu daje $3x$ .

07WYJAŚNIENIE

Zadanie o liczbach w ciągu arytmetycznym

Liczby x, 2x+1 i 10 tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz x. Jeśli liczby tworzą ciąg arytmetyczny, różnice między sąsiednimi liczbami muszą być równe.

Trzy liczby a, b, c z równymi różnicami b minus a i c minus b.

$b-a=c-b$

$(2x+1)-x=10-(2x+1)$

$x=\frac{8}{3}$

Zapamiętaj

Dla trzech liczb $a,\ b,\ c$ środkowa jest średnią: $b=\frac{a+c}{2}$ .

08WYJAŚNIENIE

Zadanie o numerze wyrazu

Gdy pytanie brzmi „którym wyrazem jest dana liczba?”, podstawiamy ją jako a_n i rozwiązujemy równanie z n.

Rozpatrujemy ciąg o $a_1=-7$ i $r=4$ . Sprawdzamy osobno liczby $45$ i $46$ . Pierwsza jest czternastym wyrazem, druga nie jest wyrazem ciągu, bo numer nie może być ułamkowy.

$45=-7+(n-1)\cdot4\Rightarrow n=14$

$46=-7+4(n-1)\Rightarrow n=14{,}25$

Wskazówka

Odpowiedź ma sens tylko wtedy, gdy $n$ jest dodatnią liczbą naturalną.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Dalszy wyraz

W ciągu arytmetycznym $a_1=4$ , $r=7$ . Wyraz $a_9$ wynosi:

$56$

$60$

$63$

$67$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$60$

$a_9=4+(9-1)\cdot7=60$ .

PYTANIE 02

Dwa wyrazy

W ciągu arytmetycznym $a_3=10$ , $a_7=26$ . Różnica wynosi:

$2$

$3$

$4$

$16$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$4$

Są $4$ skoki, a zmiana wynosi $16$ , więc $r=4$ .

PYTANIE 03

Oszczędzanie: wyraz

Ania odkłada w pierwszym miesiącu $50\text{ zł}$ , a potem o $10\text{ zł}$ więcej. Ile odłoży w szóstym miesiącu?

$90\text{ zł}$

$100\text{ zł}$

$110\text{ zł}$

$300\text{ zł}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$100\text{ zł}$

$a_6=50+(6-1)\cdot10=100$ .

PYTANIE 04

Oszczędzanie: suma

W pierwszym miesiącu odkładasz $50$ zł, a w każdym następnym o $10$ zł więcej niż w poprzednim. Ile odłożysz łącznie przez pierwszych sześć miesięcy?

$300\text{ zł}$

$350\text{ zł}$

$450\text{ zł}$

$600\text{ zł}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$450\text{ zł}$

Pierwszy wyraz to $50$ , szósty to $100$ . $S_6=\frac{6(50+100)}{2}=450$ .

PYTANIE 05

Trzy liczby

Liczby $x,\ 12,\ 20$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wartość $x$ wynosi:

$2$

$4$

$6$

$8$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$4$

Środkowy wyraz jest średnią skrajnych: $12=\frac{x+20}{2}$ . Stąd $x=4$ .

NA KONIEC

Podsumowanie

W zadaniach z ciągiem arytmetycznym najpierw wypisz dane i zdecyduj, czy pytają o pojedynczy wyraz, sumę, różnicę czy numer wyrazu.

Zapamiętaj

$a_n=a_1+(n-1)r$

$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

$r=\frac{a_n-a_k}{n-k}$

$b-a=c-b$ dla trzech kolejnych liczb