Sprawdzanie wyniku i warunków zadania - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się traktować sprawdzanie jako ostatni etap rozwiązania. Wynik może być poprawny rachunkowo, a mimo to nie być odpowiedzią na zadanie.

Checklista sprawdzania wyniku przed oddaniem odpowiedzi.

Plan tej lekcji

Najpierw sprawdzisz wynik przez podstawienie.

Potem skontrolujesz dziedzinę.

Następnie odrzucisz rozwiązania niemożliwe w kontekście zadania.

Sprawdzisz jednostki i wielkość wyniku.

Na start

„Wyszło z równania” nie zawsze oznacza „jest odpowiedzią”.

Ostateczny wynik musi spełniać matematykę i treść zadania.

Po tej lekcji:

Po tej lekcji uczeń umie ocenić, czy wynik spełnia równanie, dziedzinę, warunki praktyczne i sens liczbowy zadania.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Najprostsze sprawdzenie: podstaw wynik

Po rozwiązaniu równania wstaw otrzymaną wartość do równania początkowego. To szybki sposób na wykrycie błędu w znaku albo rachunku.

Dla równania $3x-7=11$ i wyniku $x=6$ podstawiamy do lewej strony.

$3\cdot6-7=18-7=11$

Lewa strona jest równa prawej, więc wynik jest poprawny.

Zapamiętaj

Sprawdzenie podstawieniem trwa zwykle kilka sekund.

02WYJAŚNIENIE

Równanie może dać wynik niedozwolony

Przy ułamkach algebraicznych trzeba pilnować dziedziny. Liczba może pasować do późniejszych przekształceń, ale być niedopuszczalna w wyrażeniu początkowym.

W równaniu $\frac{x+2}{x-3}=0$ mianownik nie może być równy $0$ .

$x-3\ne0$

$x\ne3$

Ułamek jest równy $0$ , gdy licznik jest równy $0$ , więc $x=-2$ .

Zapamiętaj

Dziedzinę najlepiej zapisać przed wykonaniem przekształceń.

03WYJAŚNIENIE

Pierwiastek wymusza warunek

W pierwiastku parzystego stopnia wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne.

Dla wyrażenia $\sqrt{2x-6}$ musi zachodzić warunek:

$2x-6\ge0$

$x\ge3$

Zapamiętaj

Dla $\sqrt{A}$ musi być $A\ge0$ .

04WYJAŚNIENIE

Logarytm wymusza dodatni argument

Argument logarytmu musi być większy od zera. Ten warunek trzeba sprawdzić zarówno przed, jak i po rozwiązaniu równania.

Dla $\log_2(x-4)$ argumentem jest $x-4$ .

$x-4>0$

$x>4$

Wskazówka

Dla logarytmu argument musi być dodatni, nie tylko nieujemny.

05WYJAŚNIENIE

Kontekst może odrzucić rozwiązanie

W zadaniu o długości boku równanie dało dwa kandydaty: $x=-3$ i $x=7$ . Który wynik może zostać przyjęty? Wynik musi pasować do znaczenia zmiennej.

Jeśli $x$ oznacza długość boku, wynik $x=-3$ nie ma sensu geometrycznego.

Wynik $x=7$ jest dodatni, więc może zostać przyjęty.

06WYJAŚNIENIE

Wynik musi odpowiadać pytaniu

W pudełku jest dwanaście czerwonych i osiem niebieskich kul. Pytanie brzmi: jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli niebieskiej? Można poprawnie obliczyć ułamek dotyczący kul czerwonych, ale byłaby to odpowiedź na inne pytanie.

W pudełku jest $12$ czerwonych i $8$ niebieskich kul. Wszystkich jest $20$ .

Dla niebieskiej kuli liczymy $\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$ .

Wartość $\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$ dotyczy kul czerwonych, więc odpowiada na inne pytanie.

Zapamiętaj

Przed zapisaniem odpowiedzi przeczytaj jeszcze raz ostatnie zdanie zadania.

07WYJAŚNIENIE

Jednostka jest kontrolą wyniku

Jednostka wyniku może natychmiast pokazać, że użyto niewłaściwego wzoru albo zgubiono potęgę.

Jednostki długości, pola i objętości jako kontrola typu wyniku.

Pole prostokąta o bokach $5\text{ cm}$ i $8\text{ cm}$ wynosi $40\text{ cm}^2$ , nie $40\text{ cm}$ .

Jednostką pola jest jednostka kwadratowa.

08WYJAŚNIENIE

Oszacowanie wykrywa absurdalne wyniki

Nie zawsze trzeba ponownie wykonywać wszystkie rachunki. Czasem wystarczy oszacowanie, żeby zauważyć wynik o złym rzędzie wielkości.

Dla ceny około $200\text{ zł}$ obniżka o $10\%$ to około $20\text{ zł}$ .

Nowa cena powinna być bliska $180\text{ zł}$ , a nie $20\text{ zł}$ .

Wskazówka

Zapytaj: czy wynik powinien być większy czy mniejszy od wartości początkowej i mniej więcej o ile?

09WYJAŚNIENIE

Sprawdzanie nierówności

Przy nierównościach warto sprawdzić liczbę z otrzymanego przedziału i liczbę spoza niego. To pozwala szybko zauważyć odwrócony znak nierówności.

x < −3. Zaznaczenie biegnie ukośnie od punktu granicznego, następnie nad osią; delikatne kreskowanie wskazuje zbiór liczb.

Takie podstawienia mogą wykryć błąd, ale nie dowodzą, że cały przedział jest rozwiązaniem. Uzasadnieniem pozostają poprawne przekształcenia nierówności.

Dla nierówności $-2x>6$ rozwiązaniem jest $x<-3$ .

Liczba $-4$ pasuje, bo $-2\cdot(-4)=8>6$ .

Liczba $0$ nie pasuje, bo $0>6$ jest fałszem.

Zapamiętaj

Przy dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną znak zmienia kierunek.

10WYJAŚNIENIE

Pięć pytań przed oddaniem odpowiedzi

Przed końcem rozwiązania warto przejść krótką kontrolę. To szczególnie pomaga w zadaniach tekstowych, gdzie wynik algebraiczny bywa tylko etapem.

Czy wynik spełnia równanie albo nierówność?

Po rozwiązaniu równania sprawdź wynik przez podstawienie, dziedzinę, kontekst, jednostkę i dokładne pytanie. Oszacowanie pozwala szybko wykryć wynik, który liczbowo nie ma sensu.

Zapamiętaj

Mianownik nie może być równy $0$ .

Pod pierwiastkiem parzystego stopnia musi być wartość nieujemna.

Argument logarytmu musi być dodatni.

Ostateczna odpowiedź musi odpowiadać dokładnie na pytanie z treści.