Zasada iloczynu równego zeru - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się rozwiązywać równania, w których po jednej stronie jest iloczyn, a po drugiej $0$ . Jedno równanie z nawiasami zamienisz na kilka prostych równań liniowych.

Na start

iloczyn równy zero rozbijasz na przypadki

każdy czynnik po kolei przyrównujesz do zera

zasada działa tylko dla mnożenia, nie dla sumy

Po tej lekcji:

zastosujesz zasadę iloczynu równego zeru
rozbijesz równanie iloczynowe na proste przypadki
unikniesz dzielenia przez czynnik, który może być zerem

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Kiedy wynik mnożenia jest równy zero?

W mnożeniu wystarczy jeden czynnik równy zero, żeby cały iloczyn był równy zero. Jeśli żaden czynnik nie jest zerem, iloczyn nie może nagle stać się zerem.

Trzy przykłady mnożenia pokazujące, że jeden czynnik zero zeruje cały iloczyn.

$7\cdot0=0$

$0\cdot(-5)=0$

$3\cdot(-4)=-12$

Zapamiętaj

Zero w dowolnym czynniku zeruje cały iloczyn.

Gdy nie ma zera w czynnikach, wynik nie jest zerem.

02WYJAŚNIENIE

Zasada w zapisie ogólnym

Jeśli iloczyn dwóch wyrażeń jest równy zero, to pierwsze wyrażenie może być zerem albo drugie wyrażenie może być zerem.

Schemat A razy B równa się zero rozdzielony na A równa się zero lub B równa się zero.

$A\cdot B=0$

$A=0 \text{ lub } B=0$

Przykład

Zastosuj zasadę do równania $(x-4)(x+1)=0$ .

Rozwiązanie

Czynnikami są $x-4$ oraz $x+1$ . Zapisujemy dwa przypadki: $x-4=0$ lub $x+1=0$ .

03WYJAŚNIENIE

Pierwsze równanie z iloczynem

Równanie jest gotowe do użycia zasady, bo po lewej stronie jest iloczyn dwóch czynników, a po prawej stronie jest zero.

Równanie z iloczynem rozbite strzałkami na dwa przypadki i dwa rozwiązania.

$(x-2)(x+5)=0$

$x-2=0\ \Rightarrow\ x=2$

$x+5=0\ \Rightarrow\ x=-5$

PRZYKŁAD

Rozwiąż równanie $(x-2)(x+5)=0$ .

Rozwiązanie

Iloczyn jest zerem, więc $x-2=0$ lub $x+5=0$ . Dostajemy $x=2$ lub $x=-5$ .

04WYJAŚNIENIE

Możesz sprawdzić wynik przez podstawienie

Rozwiązanie równania to taka liczba, która po podstawieniu za zmienną daje zdanie prawdziwe. Przy iloczynie wystarczy zobaczyć, że jeden nawias robi się zerem.

Dwa podstawienia pokazujące, który nawias zeruje iloczyn.

$(2-2)(2+5)=0\cdot7=0$

$(-5-2)(-5+5)=(-7)\cdot0=0$

Wskazówka

W zadaniu zamkniętym możesz szybko podstawić podejrzaną liczbę. Jeśli któryś czynnik daje $0$ , ta liczba spełnia równanie.

05WYJAŚNIENIE

Stały czynnik przed nawiasami

Czasem przed nawiasami stoi liczba, na przykład 3 albo -2. Taka liczba nie daje nowego rozwiązania, jeśli nie jest zerem.

Stały czynnik trzy nie daje rozwiązania, a nawiasy dają x równe jeden i minus cztery.

$3(x-1)(x+4)=0$

$x-1=0\ \Rightarrow\ x=1$

$x+4=0\ \Rightarrow\ x=-4$

Wskazówka

Nie zapisuj $3=0$ jako równania do rozwiązania. To zdanie fałszywe, nie przypadek dający wynik.

06WYJAŚNIENIE

Czynnik x też trzeba przyrównać do zera

Jeśli jednym z czynników jest samo $x$ , ono też może być równe zero. Nie wolno dzielić równania przez $x$ , bo można zgubić rozwiązanie $x=0$ .

Porównanie poprawnego rozbicia x razy x minus sześć i błędnego dzielenia przez x.

$x(x-6)=0$

$x=0 \text{ lub } x-6=0$

$x=0 \text{ lub } x=6$

Wskazówka

Błąd: dzielę przez $x$ i zostaje tylko $x=6$ . Poprawnie trzeba zachować także $x=0$ .

07WYJAŚNIENIE

Powtarzający się czynnik

Czynnik może pojawić się więcej niż raz. To nadal wskazuje tę samą liczbę, więc w odpowiedzi podajesz jedno różne rozwiązanie.

Kwadrat nawiasu rozwinięty jako dwa takie same czynniki i jedno rozwiązanie.

$(x-3)^2=0$

$(x-3)(x-3)=0$

$x-3=0\ \Rightarrow\ x=3$

Zapamiętaj

Na maturze podajesz różne rozwiązania, bez powtarzania tej samej liczby.

08WYJAŚNIENIE

Suma to nie iloczyn

Zasada iloczynu równego zeru działa tylko przy mnożeniu. Jeśli masz sumę, nie wolno przyrównywać każdego składnika do zera.

Kontrast: iloczyn można rozbijać, sumy nie wolno rozbijać na składniki równe zero.

$A\cdot B=0\ \Rightarrow\ A=0 \text{ lub } B=0$

$A+B=0 \not\Rightarrow A=0 \text{ lub } B=0$

PRZYKŁAD

Czy z równania $(x-2)+(x+5)=0$ wolno zapisać $x-2=0$ lub $x+5=0$ ?

Rozwiązanie

Nie. Po lewej stronie jest suma. Trzeba uprościć: $(x-2)+(x+5)=2x+3$ , więc rozwiązujemy $2x+3=0$ .

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Dwa nawiasy

Rozwiązaniami równania $(x-4)(x+2)=0$ są:

$x=4 \text{ lub } x=-2$

$x=-4 \text{ lub } x=2$

$x=4 \text{ lub } x=2$

$x=-4 \text{ lub } x=-2$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$x=4 \text{ lub } x=-2$

Przyrównujemy czynniki do zera: $x-4=0$ daje $x=4$ , a $x+2=0$ daje $x=-2$ .

PYTANIE 02

Czynnik x

Rozwiąż równanie $x(x+7)=0$ .

$x=7$

$x=-7$

$x=0 \text{ lub } x=-7$

$x=0 \text{ lub } x=7$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$x=0 \text{ lub } x=-7$

Iloczyn jest zerem, gdy $x=0$ lub $x+7=0$ . Drugie równanie daje $x=-7$ .

PYTANIE 03

Stały czynnik

Rozwiązaniem równania $5(x-3)=0$ jest:

$x=5$

$x=3$

$x=-3$

$x=0$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$x=3$

Czynnik $5$ nie jest zerem, więc musi być $x-3=0$ . Stąd $x=3$ .

PYTANIE 04

Powtórzony nawias

Ile różnych rozwiązań ma równanie $(x+1)^2=0$ ?

$0$

$1$

$2$

nieskończenie wiele

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$1$

Mamy $(x+1)(x+1)=0$ , więc rozwiązujemy $x+1=0$ . Dostajemy jedno różne rozwiązanie: $x=-1$ .

PYTANIE 05

Kiedy wolno rozbijać?

W którym równaniu można od razu zastosować zasadę iloczynu równego zeru?

$(x-1)+(x+2)=0$

$(x-1)(x+2)=0$

$x-1=x+2$

$x^2+2=0$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$(x-1)(x+2)=0$

Tylko w tej odpowiedzi lewa strona jest iloczynem czynników, a prawa strona jest równa $0$ .

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

Jeśli iloczyn kilku czynników jest równy zero, to przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero. Dlatego równanie w postaci iloczynowej rozbijasz na prostsze równania.

Zapamiętaj

$A\cdot B=0$ oznacza $A=0$ lub $B=0$

$x(x-6)=0$ daje $x=0$ lub $x=6$

Zasada nie działa dla sumy.